[論文レビュー] Isometry groups of proper CAT(0)-spaces

Ursula Hamenstaedt|ArXiv.org|Oct 21, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、適切なCAT(0)-空間の等距変換群の非初等的閉部分群で、ランク1の等距変換を含むものについて、それがランク1の単純なリー群のコンパクト拡張であるか、あるいは完全に不連続な群のコンパクト拡張であることを確立している。主な手法は、$L^p$-空間を係数とする有界コホモロジーの非消滅を示すことであり、これにより、高ランクのリー群の格子がCAT(0)-空間に作用する場合のスーパー剛性結果が得られる。

ABSTRACT

Let G be a closed subgroup of the isometry group of a proper CAT(0)-space X. We show that if G is non-elementary and contains a rank-one element then its second bounded cohomology group with coefficients in the regular representation is non-trivial. As a consequence, up to passing to an open subgroup of finite index, either G is a compact extension of a totally disconnected group or G is a compact extension of a simple Lie group of rank one.

研究の動機と目的

• 適切なCAT(0)-空間の等距変換群の非初等的閉部分群で、ランク1の等距変換を含むものの構造を分類すること。
• このような群の$ L^p $-空間を係数とする第二有界コホモロジーの非消滅を確立すること。
• 高ランクの半単純リー群の不可約格子がCAT(0)-空間に作用する場合のスーパー剛性定理を証明すること。
• 従来の双曲空間に関する結果を、有界コホモロジー技法を用いてより広い設定の適切なCAT(0)-空間へと拡張すること。

提案手法

• 局所コンパクト群$ G $が適切なCAT(0)-空間に作用する場合の第二連続有界コホモロジー$ H_{cb}^2(G, L^p(G, \nu)) $を用いる。
• 左正則表現を用いて$ L^p $-空間を係数とする有界コホモロジーの構成を行い、ハア測度の存在を活用する。
• 群$ G $がランク1の等距変換を含む場合、$ p \in (1, \infty) $に対して$ H_b^2(G, L^p(G, \nu)) \neq \{0\} $を示す。
• 非消滅コホモロジーを用いて構造的剛性を導出する：$ G $がCAT(0)-空間に作用し、ランク1の元を含むならば、$ G $はランク1の単純リー群のコンパクト拡張、または完全に不連続な群のコンパクト拡張である。
• ブルーガーとモノード、およびモノードとシャラムの結果を用いて、格子から全リー群への有界コホモロジー類の誘導を適用し、ホモモーフィズムを拡張する。
• エルゴディシティおよびアメニタリックなルートの構造を用いて、$ G $からCAT(0)-空間の等距変換群への連続ホモモーフィズムの存在を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切なCAT(0)-空間の等距変換群の非初等的閉部分群で、ランク1の等距変換を含むものにどのような構造的制約が生じるか？
• RQ2 有界コホモロジー技法を用いて、ランク1の等距変換の存在を検出でき、それによって得られる群構造を分類できるか？
• RQ3 高ランクのリー群の不可約格子からCAT(0)-空間の等距変換群へのホモモーフィズムが、連続的にその周囲のリー群へ拡張できる条件は何か？
• RQ4 放物的等距変換の存在が、適切なCAT(0)-空間の等距変換群の位相的構造に与える影響は何か？
• RQ5 $ H_b^2(G, L^p(G, \nu)) $の第二有界コホモロジー群が、等距変換群のグローバル構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 群$ G < \mathrm{Iso}(X) $が適切なCAT(0)-空間$ X $の等距変換群の非初等的閉部分群であり、ランク1の等距変換を含むならば、すべての$ p \in (1, \infty) $に対して$ H_b^2(G, L^p(G, \nu)) \neq \{0\} $が成り立つ。
• 有限指数の開部分群に取り換えることで、$ G $はランク1の単純リー群のコンパクト拡張、または完全に不連続な群のコンパクト拡張である。
• 群$ G $が$ \Lambda \times \Lambda \setminus \Delta $に推移的に作用するならば、$ H_{cb}^2(G, L^p(G, \nu)) \neq 0 $が成り立つ。
• 半単純リー群$ G $が有限中心、コンパクト因子をもたず、ランクが2以上であるとし、不可約格子$ \Gamma < G $が$ \rho: \Gamma \to \mathrm{Iso}(X) $を満たすものとする。もし$ \rho $の像が非初等的でランク1の等距変換を含むならば、$ \rho $は$ G \to L $への連続的ホモモーフィズムに拡張できる。ここで$ L $はランク1の単純リー群である。
• $ \mathrm{Iso}(\tilde{M}) $のアメニタリックルートは、$ \pi_1(M) $がランク1の元を含むならば、自明である。
• 群$ \mathrm{Iso}(\tilde{M}) $が放物的等距変換を含むならば、それは完全に不連続にはなりえない。なぜなら、これは、コンパクト作用をもつ完全に不連続群に放物的元が存在しないことと矛盾するからである。