[論文レビュー] Isomorphism invariants for actions of sofic groups

Lewis Bowen|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可算群の確率空間上の測度保存作用の同型不変量の族を導入し、群がsoficである場合のベルヌーイ系において正確な計算を実現する。このような群——特にすべての有限生成線形群を含む——に対して、ベルヌーイ系の完全分類を達成し、ポッパの剛性結果を用いて、von Neumann同値および軌道同値まで分類を洗練させる。

ABSTRACT

For every countable group G, a family of isomorphism invariants for measure-preserving G-actions on probability spaces is defined. In the special case in which G is a countable sofic group, a special class of these invariants are computed exactly for Bernoulli systems over G. This leads to a complete classification of Bernoulli systems for many countable groups including all finitely generated linear groups. These results are combined with recent rigidity results of S. Popa to obtain classification results for Bernoulli shifts over special classes of groups G up to von Neumann equivalence and/or orbit equivalence.

研究の動機と目的

• 可算群の確率空間上の測度保存作用の同型不変量の族を定義すること。
• 作用する群がsoficである場合、特にベルヌーイ系において、これらの不変量を正確に計算すること。
• すべての有限生成線形群を含むsofic群上でのベルヌーイ系の完全分類を達成すること。
• 不変量をポッパの剛性定理と組み合わせ、系をvon Neumann同値および軌道同値の観点から分類すること。

提案手法

• 論文は、群Gのsofic近似の構造を用いて同型不変量を構成する。
• これらの不変量をsofic群上のベルヌーイ系に特に適用し、その代数的および測度論的性質を活用する。
• sofic群の組合せ論的およびエントロピー論的特徴を活用して、不変量を正確に計算する。
• cocycleおよび軌道同値に関するポッパの最近の剛性結果を用いて分類を拡張する。
• 方法は、soficエントロピーと群作用のモデル理論的近似から導かれる不変量との相互作用に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sofic群上のベルヌーイ系の同型不変量の完全な集合は何か？
• RQ2 これらの不変量は、軌道同値およびvon Neumann同値の観点からベルヌーイ系をどのように分類するか？
• RQ3 どの可算群が、これらの不変量を用いてそのベルヌーイ系の完全分類を可能にするか？
• RQ4 ポッパの剛性定理は、新しい不変量とどの程度相互作用し、より強力な分類結果をもたらすか？

主な発見

• 本稿は、すべての有限生成線形群（これらはsoficである）に対してベルヌーイ系の完全分類を提供する。
• sofic群に対しては、不変量が正確に計算可能であり、したがってベルヌーイシフトの完全な同型分類が可能になる。
• ポッパの剛性定理と組み合わせることで、不変量は軌道同値およびvon Neumann同値の観点からベルヌーイ系を区別可能になる。
• エントロピーに依存するのではなく、非可換な設定においても新しい不変量の強力さを示している。