[論文レビュー] Isomorphism of regular trees and words

Markus Lohrey, Christian Mathissen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2011

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限オートマトンによって表現される正則木および正則線形順序（一般化された語）の同型問題の計算量複雑性を確立する。非決定性オートマトン（NFA）によって与えられる正則木の同型問題は EXPTIME完全であることが証明され、また、非循環的NFA（有限木を効率的に表現）では PSPACE完全である。正則線形順序を決定性オートマトン（DFA）によって表現する場合、多項式時間アルゴリズムが提示され、ÉsikとBloomが提起した未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The computational complexity of the isomorphism problem for regular trees, regular linear orders, and regular words is analyzed. A tree is regular if it is isomorphic to the prefix order on a regular language. In case regular languages are represented by NFAs (DFAs), the isomorphism problem for regular trees turns out to be EXPTIME-complete (resp. P-complete). In case the input automata are acyclic NFAs (acyclic DFAs), the corresponding trees are (succinctly represented) finite trees, and the isomorphism problem turns out to be PSPACE-complete (resp. P-complete). A linear order is regular if it is isomorphic to the lexicographic order on a regular language. A polynomial time algorithm for the isomorphism problem for regular linear orders (and even regular words, which generalize the latter) given by DFAs is presented. This solves an open problem by Esik and Bloom.

研究の動機と目的

• 正則木および正則線形順序の同型問題の計算量複雑性を特定すること。
• ÉsikとBloomが提起した正則線形順序の同型問題に関する未解決問題を解消すること。
• 異なるオートマトン表現（DFA、NFA、非循環的オートマトン）が同型テストの複雑性に与える影響を分析すること。
• DFAによって表現される正則線形順序の同型問題に対する多項式時間アルゴリズムを提供すること。
• さまざまなオートマトン入力形式に対して、タイトな複雑性境界（例：EXPTIME完全、PSPACE完全）を確立すること。

提案手法

• NFA や DFA を用いて、正則言語上の接頭語順序により正則木を表現する。
• 正則木の同型問題をオートマトン理論的構成に還元し、交差チューリングマシンのシミュレーションを用いて EXPTIME 困難性を証明する。
• Lindellの結果（明示的に与えられた有限木の logspace 同型テスト）を活用し、非循環的NFAのPSPACE上界を導出する。
• 順序付き木における遷移構造と部分木同型の比較に基づく再帰的同型チェックを用いる。
• 順序付き正則木のフロントリヤー語を用いた正則語の新たな特徴付けを適用し、木同型問題と語同型問題を結びつける。
• 補完閉包と非決定的論理的空間走査を用いた、状態ペアに基づく再帰的アルゴリズムをNLで実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NFAによって表現される正則木の同型問題の計算量複雑性は何か？
• RQ2 入力オートマトンが非循環的NFA（有限木を効率的に表現）である場合、複雑性はどのように変化するか？
• RQ3 DFAによって表現される正則線形順序の同型問題に対して多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 NFAによって表現される正則線形順序の同型問題の複雑性は何か？
• RQ5 正則語の同型問題は、フロントリヤー語構成を介して木同型問題に還元可能か？

主な発見

• NFAによって与えられる正則木の同型問題は EXPTIME完全である。
• 非循環的NFAの場合、対応する有限木の同型問題は PSPACE完全である。
• DFAによって与えられる正則木の同型問題は P完全である。
• DFAによって表現される正則線形順序の同型問題に対して、多項式時間アルゴリズムが提示され、未解決問題が解決された。
• NFAによって表現される正則線形順序の同型問題は EXPTIME に属し、PSPACE 困難であるため、PSPACE と EXPTIME の間に複雑性ギャップが残る。
• 接頭語閉包DFAの場合、同型問題は NL完全であり、接頭語閉包NFAの場合、PSPACE完全である。