[論文レビュー] Isomorphisms in l^1-homology

Clara Loeh|ArXiv.org|Dec 20, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双対バナッハ鎖複体を通じて ℓ¹-ホモロジーと有界コホモロジーの間に双対性原理を確立し、有界コホモロジーの構造的結果を ℓ¹-ホモロジーに移すことを可能にする。本稿は、ℓ¹-ホモロジーが基本群にのみ依存することを証明し、射影的分解を用いたホモロジー代数的記述を提供し、先行研究における欠落を解消し、非コンパクト多様体の単体的体積に関する新たな知見をもたらす。

ABSTRACT

Taking the l^1-completion and the topological dual of the singular chain complex gives rise to l^1-homology and bounded cohomology respectively. In contrast to l^1-homology, major structural properties of bounded cohomology are well understood by the work of Gromov and Ivanov. Based on an observation by Matsumoto and Morita, we derive a mechanism linking isomorphisms on the level of homology of Banach chain complexes to isomorphisms on the level of cohomology of the dual Banach cochain complexes and vice versa. Therefore, certain results on bounded cohomology can be transferred to l^1-homology. For example, we obtain a new proof of the fact that l^1-homology depends only on the fundamental group and that l^1-homology with twisted coefficients admits a description in terms of projective resolutions. The latter one in particular fills a gap in Park's approach. In the second part, we demonstrate how l^1-homology can be used to get a better understanding of simplicial volume of non-compact manifolds.

研究の動機と目的

• 双対バナッハ鎖複体を通じて、ℓ¹-ホモロジーと有界コホモロジーにおける同型の間の双対性メカニズムを確立すること。
• 特にパーの不完全な証明に起因する、ℓ¹-ホモロジーの基本群への依存性に関する先行研究の欠落を解消すること。
• 強い相対的射影的分解を用いた、ℓ¹-ホモロジーのホモロジー代数的フレームワークを提供すること。
• ℓ¹-ホモロジーを非コンパクト多様体の単体的体積を理解するために応用すること、特にそれが有限または非ゼロである場合に焦点を当てる。

提案手法

• バナッハ鎖複体のホモロジーにおける同型が、その双対のコホモロジーにおける同型に移る翻訳原理を構築すること。
• この原理を ℓ¹-鎖複体および位相空間と離散群の有界コホーン複体に適用すること。
• 双対性を用いて、有界コホモロジーに既知の結果（基本群への依存性、アメニタリティの基準など）を ℓ¹-ホモロジーに移すこと。
• 境界の ℓ¹-無視可能性に基づく単体的体積の有限性基準を適用し、非コンパクト多様体を分析すること。
• 指数的に減少する ℓ¹-ノルムを持つ局所有限サイクルを構成し、特定の積の場合の単体的体積の消滅を証明すること。
• 一様境界条件と相対的基本サイクルを用いて、単体的体積の下界を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ¹-ホモロジーは、有界コホモロジーと同様に、基本群にのみ依存するのか？
• RQ2 ℓ¹-ホモロジーと有界コホモロジーの間の双対性を形式化し、構造的結果の移行を可能にすることができるか？
• RQ3 特に射影的分解を通じて、ℓ¹-ホモロジーはどのようにホモロジー代数的に記述できるか？
• RQ4 非コンパクト多様体における単体的体積の有限性または非消滅性は、何に依存するか？
• RQ5 境界の ℓ¹-無視可能性を用いて、積多様体の単体的体積が有限または無限である場合を特徴づけられるか？

主な発見

• 可算かつ連結な CW 複体の ℓ¹-ホモロジーは、基本群にのみ依存し、その予想を新たな証明で確認した。
• 離散群のアメニタリティは、その ℓ¹-ホモロジーが次数 1 で消えることと同値である。
• 連結で可算な CW 複体の ℓ¹-ホモロジーは、その基本群の ℓ¹-ホモロジーと一致し、強い相対的射影的分解を用いて計算可能である。
• 閉多様体 M から点を除去して得られる非コンパクト多様体 N の単体的体積は、M が非ゼロの単体的体積を持つ限り、有限かつ正である。
• M が ℓ¹-無視可能であれば、積 M×ℝ の単体的体積はゼロであり、そうでなければ無限大であり、このような積に対して鋭い基準を与える。
• 境界の genus が 1 以上のコンパクトな曲面 M に対して、M∘×ℝ の単体的体積は無限大であり、その境界が ℓ¹-無視不可能であるためである。