[論文レビュー] Isoperimetric and Sobolev inequalities on hypersurfaces in sub-Riemannian Carnot groups

Francescopaolo Montefalcone|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、サブリーマンニアン・カルノー群における超曲面に対して、ミケルとサイモンの古典的結果を一般化した等周およびソボレフ型不等式を確立する。水平平均曲率を含む鋭い等周不等式を導出し、H-径路測度に関してコンパクトなC^2超曲面上の関数に対する最適なL^pソボレフ埋め込みを証明する。非可積分的分布を有する非ユークリッド的設定への微分幾何学的解析の拡張がなされる。

ABSTRACT

Let G be a k-step Carnot group. We prove an isoperimetric-type inequality for compact C^2-smooth immersed hypersurfaces with boundary, involving the horizontal mean curvature of the hypersurface. This generalizes an inequality due to Michael and Simon, and Allard, independently. Some applications are discussed.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間からの等周およびソボレフ不等式を、k段階のカルノー群におけるサブリーマンニアン設定に拡張すること。
• ミケル＝サイモンの等周不等式を、H-径路測度に関してコンパクトなC^2超曲面に一般化すること。
• 水平勾配と垂直勾配を両方含む、超曲面上の関数に対する鋭いソボレフ型不等式を確立すること。
• 単調性公式とブロー・アップ技術を用いて、H-径路測度の漸近的挙動を分析すること。
• 非自明な階層的リー群構造を有する測度空間における、超曲面の完全な幾何学的・解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• H勾配の共面積公式を用い、関数の等高線集合と超曲面上のH-径路測度を関連付ける。
• H-径路の第一変分公式を適用し、水平平均曲率を含む幾何的恒等式を導出する。
• 点p ∈ Sにおけるブロー・アップ技術を用い、H-径路測度の局所的挙動を分析し、単調性の性質を導出する。
• 単調性公式とB2(t)の推定値を用いて線形等周不等式を導出し、既存の文献における推定値を改善する。
• 補間とホルダー不等式を適用し、L^pとL^{p*}ノルムの間の補間を実現し、ソボレフ埋め込みの証明を可能にする。
• ヤングの不等式と反復的精錬を用い、p = Q-1の場合から出発して、すべてのq ≥ Q-1におけるL^pバウンドを拡張し、最適なソボレフ型不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミケル＝サイモンの等周不等式は、サブリーマンニアン・カルノー群におけるコンパクトなC^2超曲面に一般化可能か？
• RQ2 等周定数の幾何的量（平均曲率や固有半径など）への正確な依存関係は何か？
• RQ3 特に臨界ケースp = Q-1において、サブリーマンニアン空間におけるソボレフ型不等式はどのように振る舞うか？
• RQ4 点の近傍におけるH-径路測度の漸近的挙動は何か？また、単調性公式とどのように関係するか？
• RQ5 H-径路測度に関して、水平勾配と垂直勾配を両方含む関数の最適なL^pソボレフ埋め込みを確立できるか？

主な発見

• k段階のカルノー群におけるコンパクトなC^2超曲面Sに対して、H-径路測度と水平平均曲率を含む鋭い等周不等式が確立され、ミケル＝サイモンの結果が一般化される。
• 量B2(t)の推定値が改善され、主な等周不等式のより精確な定式化がなされ、警告4.4および第4.3節に詳細が記載されている。
• p ∈ [Q-1, ∞)に対して、水平平均曲率、固有半径r(S)、群構造に依存する定数C_qが存在し、ψのL^qノルムが、そのL^pノルムおよび水平・垂直勾配のL^pノルムの和で上から抑えられる。
• 臨界ケースp = Q-1において、すべてのq ≥ Q-1に対してソボレフ埋め込みが成り立ち、定数C_qはH^0_H、r(S)、ϱ、群Gに依存する。
• H-径路測度σ^{n-1}_H(S)の漸近的挙動は、単調性公式を用いて特徴づけられ、任意の点におけるブロー・アップで安定化することが示される。
• ソボレフ不等式の証明は、L^{(Q-1)^2/(Q-2)}ノルムから出発し、ホルダーおよびヤングの不等式を反復的に適用することで、すべてのq ≥ Q-1にまで拡張される。