[論文レビュー] Variation of Perimeter Measure in sub-Riemannian geometry

Robert K. Hladky, Scott D. Pauls|ArXiv.org|Feb 8, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、一般の部分リーマン多様体における水平径数測度の最初の変分公式を導出し、特異点を含む場合にも適用可能であり、縦方向に剛性のある空間における $C^2$ 超曲面に対して第二の変分公式を確立している。さらに、ヘイゼンベルク群 $\mathbb{H}^2$ におけるバブル集合が体積保存変分に関して安定であることを証明し、非特異領域にとどまらない部分リーマン多様体における最小面積および等周問題の変分的手法を拡張している。

ABSTRACT

We derive a formula for the first variation of horizontal perimeter measure for $C^2$ hypersurfaces of completely general sub-Riemannian manifolds, allowing for the existence of characteristic points. For $C^2$ hypersurfaces in vertically rigid sub-Riemannian manifolds we also produce a second variation formula for variations supported away from the characteristic locus. This variation formula is used to show the bubble sets in \hn{2} are stable under volume preserving variations.

研究の動機と目的

• 一般の部分リーマン多様体における $C^2$ 超曲面に対して、特異点領域を含む水平径数の最初の変分公式を拡張すること。
• 縦方向に剛性のある部分リーマン空間における $C^2$ 超曲面に対して第二の変分公式を導出し、特異点集合から離れた領域で有効であるようにすること。
• 第二の変分公式を用いて、$\mathbb{H}^2$ におけるバブル集合が体積保存変分に関して安定であることを確立すること。
• ヘイゼンベルク群や他のカルノー群における既存の最初の変分結果を、縦方向補空間の完全な構造および曲率項を組み込むことで一般化すること。
• 定義関数の反対称ヘッシアンを用いて特異点集合の構造を解析し、そのハウスドルフ次元に対する上限を求める。

提案手法

• 水平変分関数 $\rho_0$ を用いた $C^{1;2}$ 変分を用いて、一般の部分リーマン多様体における $C^2$ 超曲面に対する最初の変分公式を導出。水平平均曲率 $H$ と項 $\sum_\beta \langle [\nu, T_\beta], T_\beta \rangle$ を含む。
• 特異点集合を考慮するための修正された最初の変分公式を導入。積分を $\Sigma \setminus C(\Sigma)$ 上で分割し、境界項 $\partial\Omega_\delta$ を極限処理によって取り扱う。
• 縦方向に剛性のある空間における第二の変分公式を適用。径数関数の第二導関数を計算し、縦方向曲率項が消えることを利用。
• 第二の変分解析における重要な不等式の証明に、$L^2$-直交性とフーリエ展開を用いた技術的補題を用いる。
• 定義関数の反対称ヘッシアン $\mathcal{X}_-^2(\phi,p)$ を用いて特異点集合 $C(\Sigma)$ を解析。これが恒等的に消えない場合、$C(\Sigma)$ は局所的に次元 $\leq n-2$ の部分多様体に含まれることを示す。
• ヘッシアン解析を繰り返し適用し、高階の特異点集合がより次元の低い部分多様体に含まれることを示し、括弧生成構造における特異点集合のハウスドルフ次元が $n-2$ 以下であることを最終的に証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^2$ 超曲面における特異点集合を含む水平径数の最初の変分をどのように拡張できるか？
• RQ2 縦方向に剛性のある部分リーマン多様体における水平径数の第二の変分公式は何か？また、縦方向構造が剛性を持つ場合にどのように簡略化されるか？
• RQ3 $\mathbb{H}^2$ におけるバブル集合は体積保存変分に関して安定か？第二の変分公式を用いてこれを証明できるか？
• RQ4 部分リーマン多様体における $C^2$ 超曲面の特異点集合の最大ハウスドルフ次元は何か？
• RQ5 定義関数の反対称ヘッシアンを用いて特異点集合の構造を解析できるか？この解析から得られる上限は何か？

主な発見

• 一般の部分リーマン多様体における $C^2$ 超曲面の水平径数の最初の変分は、$\frac{d}{dt}\big|_{t=0} P_0(\Sigma_t) = \int_\Sigma \rho_0 \left( H - \sum_\beta \langle [\nu, T_\beta], T_\beta \rangle \right) \Lambda$ で与えられ、$L^1$ 条件および曲率条件のもとで特異点でも有効である。
• 縦方向に剛性のある空間における第二の変分公式は、縦方向曲率項が消えると $\frac{d^2}{dt^2}\big|_{t=0} P_0(\Sigma_t) = \int_\Sigma \left( \text{div } \nu \right)^2 - |\nabla_\Sigma \rho|^2 \, dV_\Sigma$ に簡略化される。
• $\mathbb{H}^2$ におけるバブル集合は、体積保存変分に関して安定であることが証明され、すべてのこのような変分に対して第二の変分が非負である。
• 部分リーマン多様体における $C^2$ 超曲面の特異点集合 $C(\Sigma)$ は、反対称ヘッシアン $\mathcal{X}_-^2(\phi,p)$ が恒等的に消えない限り、局所的に次元 $\leq n-2$ の部分多様体に含まれる。
• ヘッシアン $\mathcal{X}_-^2(\phi,p)$ が点で恒等的に消える場合、その点は低次の水平分布の特異点となるため、特異点集合の次元を繰り返し低減できる。
• 技術的補題により、$\sin^2\theta$ に対して直交する条件下で $\int_0^\pi (\rho'\sin\theta - \rho\cos\theta)^2 d\theta \geq 2\int_0^\pi \rho^2 d\theta$ が成り立ち、等号は $\rho = a_1 \cos\theta$ のみで成立する。この不等式は第二の変分解析において不可欠である。