[論文レビュー] Isoperimetric functions for subdirect products and Bestvina-Brady groups

Will Dison|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、面積半径ペアと群の提示を分析することにより、極限群とベストヴィナ＝ブレイド群の部分直積に対して多項式的等周不等式を確立する。特定の有限指数および射影条件の下で、このような部分群は有限生成であり、多項式的デーン関数を有することが示され、特にベストヴィナ＝ブレイド群は四次等周関数を有することが示された。

ABSTRACT

In this thesis we investigate the Dehn functions of two different classes of groups: subdirect products, in particular subdirect products of limit groups; and Bestvina-Brady groups. Let D = Γ_1 imes ... imes Γ_n be a direct product of n \geq 3 finitely presented groups and let H be a subgroup of D. Suppose that each Γ_i contains a finite index subgroup Γ_i' \leq Γ_i such that the commutator subgroup [D', D'] of D' = Γ_1' imes ... imes Γ_n' is contained in H. Suppose furthermore that, for each i, the subgroup Γ_i H has finite index in D. We prove that H is finitely presented and satisfies an isoperimetric inequality given in terms of area-radius pairs for the Γ_i and the dimension of (D'/H) \otimes \Q. In the case that each Γ_i admits a polynomial-polynomial area-radius pair, it will follow that H satisfies a polynomial isoperimetric inequality. As a corollary we obtain that if K is a subgroup of a direct product of n limit groups and if K is of type FP_m(\Q), where m = \max {2, n-1}, then K is finitely presented and satisfies a polynomial isoperimetric inequality. In particular, we obtain that all finitely presented subgroups of a direct product of at most 3 limit groups satisfy a polynomial isoperimetric inequality. We also prove that if B is a finitely presented Bestvina-Brady group, then B admits a quartic isoperimetric function.

研究の動機と目的

• 部分直積の極限群およびベストヴィナ＝ブレイド群の等周挙動を特定すること。
• このような部分群が有限生成であり、多項式的等周不等式を満たすための条件を確立すること。
• ベストヴィナ＝ブレイド群のデーン関数を分析し、それが四次的であることを示すこと。
• 極限群の直積の有限生成部分群に関する結果を、FPm(Q) 条件を用いて一般化すること。
• 面積半径ペアと組合せ的ノルムホモトピーを用いてデーン関数をバウンディングするフレームワークを提供すること。

提案手法

• 有限生成群のデーン関数をバウンディングするために、面積半径ペアを用いる。
• 有界ノイズ補題と有限指数部分群技術を適用して、歪みと面積成長を制御する。
• 組合せ的ノルムホモトピーと $φ_n$-写像を用いて、群提示における単語のノルムホモトピーを構成する。
• 問題を直積および部分群から導かれる提示における単語の面積を分析することに還元する。
• $φ_n$-写像構成を用いて、標的群の単語と、制御された面積コストを持つ基本群の単語との関係を関係付ける。
• フィリング定理と右側アーティン群の CAT(0) 性質を適用して、面積のバウンディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直積の $n \geq 3$ 個の有限生成群の部分群が、有限生成かつ多項式的等周不等式を満たすための条件は何か？
• RQ2 ベストヴィナ＝ブレイド群のデーン関数は何か？ そして、多項式的等周関数を有するか？
• RQ3 面積半径ペアとコhomological次元を用いて、極限群の部分直積の等周関数をバウンディングできるか？
• RQ4 $(D'/H) \otimes \mathbb{Q}$ の次元は、$H$ の等周関数にどのように影響するか？
• RQ5 FPm(Q) 条件と、極限群の直積の部分群の有限生成性および等周挙動との関係は何か？

主な発見

• $H$ が $n \geq 3$ 個の有限生成群の直積の部分群であり、有限指数の射影をもち、有限指数部分群の交差群を含むならば、$H$ は有限生成であり、面積半径ペアおよび $(D'/H) \otimes \mathbb{Q}$ の次元に基づいた等周不等式を満たす。
• 各因子群が多項式的-多項式的面積半径ペアを有するならば、$H$ は多項式的等周不等式を満たす。
• 3個以下の極限群の直積の有限生成部分群は、すべて多項式的等周不等式を満たす。
• $n$ 個の極限群の直積の部分群 $K$ が $\mathrm{FP}_m(\mathbb{Q})$ 型であり、$m = \max\{2, n-1\}$ であるならば、$K$ は有限生成であり、多項式的等周不等式を満たす。
• 有限生成のベストヴィナ＝ブレイド群は四次等周関数を有する。すなわち、そのデーン関数は $l^4$ で上からバウンディングされる。
• 提示 $\mathcal{P}_H^\infty$ の関係的面積関数は $\mathrm{RArea}_H(l) \preceq l^2$ を満たし、これにより面積半径ペアの合成を通じて四次的デーン関数が得られる。