[論文レビュー] Finitely presented residually free groups

Martin R. Bridson, James Howie+2 more|ArXiv.org|Sep 22, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、群の部分直接積の有限提示可能性に関する基準を確立し、極限群の有限直積への標準埋め込みを用いて、有限提示可能な残余自由群を完全に特徴づけている。同論文は、このような埋め込みを構成するためのアルゴリズムを提示し、有限提示された部分群における共役問題と属 membership 問題を解決し、同型問題を有限計算に還元することで、残余自由群において有限提示可能性と FP_n 同値性が一致することを証明している。

ABSTRACT

We establish a general criterion for the finite presentability of subdirect products of groups and use this to characterize finitely presented residually free groups. We prove that, for all $n\in\mathbb{N}$, a residually free group is of type ${ m{FP}}_n$ if and only if it is of type ${ m{F}}_n$. New families of subdirect products of free groups are constructed, including the first examples of finitely presented subgroups that are neither ${ m{FP}}_\infty$ nor of Stallings-Bieri type. The template for these examples leads to a more constructive characterization of finitely presented residually free groups up to commensurability. We show that the class of finitely presented residually free groups is recursively enumerable and present a reduction of the isomorphism problem. A new algorithm is described which, given a finite presentation of a residually free group, constructs a canonical embedding into a direct product of finitely many limit groups. The (multiple) conjugacy and membership problems for finitely presented subgroups of residually free groups are solved.

研究の動機と目的

• 部分直接積の群の有限提示可能性に関する一般基準を確立すること。
• 直接因子への射影を用いて、共通可換性の意味で有限提示可能な残余自由群を特徴づけること。
• 任意の有限提示可能な残余自由群を、極限群の有限直積への標準的埋め込みを生成するアルゴリズムを構築すること。
• 残余自由群内の有限提示された部分群における共役問題と属 membership 問題を解決すること。
• 残余自由群の同型問題を、周囲の直積の自己同型群による有限探索に還元すること。

提案手法

• 直接因子への射影に基づいて、部分直接積の有限提示可能性に関する一般基準を開発すること。
• 極限群の構造とその完全に残余自由な性質を用いて、残余自由群を有限個の極限群の直積への標準的埋め込みを構築すること。
• 組合せ的群論からのアルゴリズム的技法、特に Todd-Coxeter アルゴリズムを用いて、指数と部分群構造を計算すること。
• 極限群の自己同型群に対する既知のアルゴリズムを活用し、同型問題を有限計算に還元すること。
• 最大の極限群商とアーベル化が非同型な群を区別する有効な不変量として機能することを活用すること。
• 周囲の直積の自己同型群の有限生成集合を用いて、同型問題を自己同型群作用の軌道同値性の確認に還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限群の部分直接積がいつ有限提示可能となるか。
• RQ2 任意の有限提示可能な残余自由群は、極限群の有限直積への標準的埋め込みが可能か。
• RQ3 残余自由群において、有限提示群のクラスと FP_n 群のクラスは同値か。
• RQ4 残余自由群の有限提示部分群における共役問題と属 membership 問題は、有効に解けるか。
• RQ5 有限提示可能な残余自由群の同型問題は解けるか。もし可能であれば、どのように有限計算に還元できるか。

主な発見

• 有限提示可能な残余自由群は、アーベル部分と非アーベル部分に分解された有限直積への標準的埋め込みを有する。
• 有限提示可能な残余自由群のクラスは再帰的可算であり、アルゴリズム的列挙が可能である。
• 残余自由群の有限提示部分群における共役問題と属 membership 問題は決定可能である。
• 非アーベル直接因子が2つ以下である群では、周囲の直積の自己同型群に対する有限探索により同型問題が解ける。
• 有限提示可能な残余自由群は、FP_n 型であることと F_n 型であることの両方が一致するものであり、強い同値性を確立する。
• この論文は、自由群の部分群としての有限提示可能な群の例を初めて構成し、それらが FP_∞ でもなく、Stallings-Bieri 型でもないことを示し、このような群の既知の分類を拡張した。