[論文レビュー] Itô calculus and jump diffusions for $G$-Lévy processes

Krzysztof Paczka|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限なジャンプ活動を有する$G$-Lévy過程のイト型微積分の枠組みを確立し、イト-レヴィ積分を導入し、イトの公式を導出し、そのような過程によって駆動されるSDE、BSDE、FBSDEを構築する。主な貢献は、劣線形期待を確率測度の族上の上限として表現することと、$L^p_G(\Omega)$の擬連続性特徴付けであり、ジャンプを伴うモデル不確実性下での確率的微積分の構築を可能にする。

ABSTRACT

The paper considers the integration theory for $G$-Lévy processes with finite activity. We introduce the Itô-Lévy integrals, give the Itô formula for them and establish SDE's, BSDE's and decoupled FBSDE's driven by $G$-Lévy processes. In order to develop such a theory, we prove two key results: the representation of the sublinear expectation associated with a $G$-Lévy process and a characterization of random variables in $L^p_G(Ω)$ in terms of their quasi-continuity.

研究の動機と目的

• 有限なジャンプ活動を有する$G$-Lévy過程のための確率的積分理論を発展させること。
• イト微積分を$G$-Lévy過程によって駆動されるジャンプ拡散に拡張すること。
• $G$-期待値の下で前向きおよび後向き確率微分方程式（SDE、BSDE、FBSDE）を確立すること。
• $G$-期待値を確率測度の族上の上限として表現すること。
• $L^1_G(\Omega)$の空間を擬連続性によって特徴付けることにより、モデル不確実性下での確率変数の解析を可能にする。

提案手法

• 純粋なジャンプを有する$G$-Lévy過程のジャンプ測度に関するイト-レヴィ積分を導入する。
• 生成子$G_X$のレヴィ＝キンチン表現を用いて、一般の$G$-イト-レヴィ過程のためのイトの公式を導出する。
• $G$-Lévy過程によって駆動される前向きおよび後向きSDE（SDE、BSDE、FBSDE）を劣線形期待の下で確立する。
• 劣線形期待$\mathbb{E}$を、$\mathcal{P}$が確率積分の法則からなることから、通常の期待の上限$\sup_{\mathbb{P} \in \mathcal{P}} \mathbb{E}^\mathbb{P}[\cdot]$として表現することを証明する。
• $L^p_G(\Omega)$の要素を擬連続性によって特徴付けることにより、非線形期待への理論の拡張を行う。
• $\mathcal{P}$を確率積分の法則として表現することを用いて、関連する積分微分方程式（integro-PDE）の粘性解の存在および一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限なジャンプ活動を有する$G$-Lévy過程に対して、一貫性のあるイト微積分をどのように構築できるか？
• RQ2 $G$-Lévy過程に関連する劣線形期待が、確率測度の族によってどのように正確に表現できるか？
• RQ3 $L^1_G(\Omega)$の空間は、確率変数の擬連続性特性によってどのように特徴付けられるか？
• RQ4 ジャンプを伴う$G$-イト-レヴィ過程のためのイトの公式の形は何か？
• RQ5 モデル不確実性下で$G$-Lévy過程によって駆動されるSDE、BSDE、FBSDEはどのように振る舞うか？

主な発見

• $G$-Lévy過程に関連する劣線形期待は、制御された過程によって駆動される確率積分の法則からなる確率測度の族上の上限として表現される。
• $L^1_G(\Omega)$の空間は、確率変数の擬連続性によって完全に特徴付けられ、古典的$L^p$理論を非線形設定に拡張する。
• 一般の$G$-イト-レヴィ過程に対して、モデル不確実性下で拡散成分とジャンプ成分を統合したイトの公式が確立された。
• SDE、BSDE、および分離可能なFBSDEは、適切な条件下で厳密に定式化され、解の存在が示された。
• 関連する経路依存型PDEの価値関数が粘性解であることが証明され、比較原理を用いて一意性が確立された。
• 本稿は、ボラティリティおよびジャンプの不確実性下での確率的微積分の厳密な基盤を提供し、ファイナンスモデリングおよび確率的制御への応用を可能にする。