[論文レビュー] It\^o's formula for flow of measures on semimartingales

Xin Guo, Huyên Pham+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般のセミマルティンググレの関連する確率測度の流れに対して、伊藤の公式を拡張し、円柱多項式の近似を用いて、イートプロセスに制限された先行研究を一般化している。主な貢献は、ジャンプおよび特異制御を含むMcKean-Vlasov SDEのための厳密な確率的計算フレームワークを提供することであり、平均場確率的制御における新たな応用を可能にする。

ABSTRACT

We state Ito's formula along a flow of probability measures associated with general semimartingales. This extends recent existing results for flow of measures on Ito processes. Our approach is to first prove Ito's formula for cylindrical polynomials and then use function approximation for the general case. Some applications to McKean- Vlasov controls of jump-diffusion processes and McKean-Vlasov singular controls are developed.

研究の動機と目的

• 測度値確率過程の文脈において、イートプロセスから一般セミマルティンググレへの伊藤の公式の一般化を目的とする。
• 拡散過程に制限されない、測度値確率過程における確率的計算の理論的基盤を構築することを目的とする。
• ジャンプ・ドリフトおよび特異制御を含むMcKean-Vlasov確率的制御問題の分析を可能とすることを目的とする。
• 非マルコフ的かつ測度依存のダイナミクスへのイート型計算の体系的拡張法を提供することを目的とする。
• 測度の流れを通じて、古典的伊藤計算と平均場確率的制御の間のギャップを埋めることを目的とする。

提案手法

• 測度値セミマルティンググレの文脈において、円柱多項式のための伊藤の公式を基礎的ステップとして導出する。
• 関数の近似技術を用いて、多項式から一般可測関数への公式の拡張を行う。
• 連続的イートプロセスに制限されない、一般セミマルティンググレによって生成される測度の流れにフレームワークを適用する。
• セミマルティンググレの構造を活用して、ダイナミクスを局所マルティンゲール成分と有限変動成分に分解する。
• 確率的フローに沿った測度の進化のための一貫性のある確率的計算を構築する。
• 導出された公式を用いて、ジャンプ・ドリフトおよび特異制御成分を含むMcKean-Vlasov制御問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般セミマルティンググレによって駆動される測度の流れに対して、イートプロセスに限定されない形で、イートの公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 測度値設定において、多項式から一般関数への確率的計算を拡張するために必要な数学的技法は何か？
• RQ3 拡張されたイートの公式は、ジャンプ・ドリフトダイナミクスを含むMcKean-Vlasov制御問題の分析をサポートできるか？
• RQ4 特異制御の組み込みが、測度値イートの公式の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 このフレームワークは、非マルコフ的およびジャンプ・ドリフトダイナミクス下での平均場確率的制御にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本論文は、一般セミマルティンググレによって駆動される測度の流れに対する伊藤の公式を成功裏に拡張し、先行研究がイートプロセスに限定されていたのを一般化した。
• 円柱多項式に基づく新規な近似法により、一般可測関数に対する公式の導出が可能になった。
• 拡張された計算フレームワークにより、ジャンプ・ドリフト過程を含むMcKean-Vlasov制御問題の分析が可能になった。
• 本アプローチは、拡散成分とジャンプ成分を併せ持つ測度値過程のための一貫性のある確率的計算を提供する。
• 結果として得られた理論的基盤により、測度フローのダイナミクスを用いた特異McKean-Vlasov制御の研究が可能になった。
• 本手法は、平均場制御設定における非マルコフ的および経路依存的ダイナミクスを扱うのに十分な頑健性を有している。