[論文レビュー] Iterants, Fermions and the Dirac Equation

Louis H. Kauffman|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2014

Topological Materials and Phenomena参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ディラック方程式やフェルミオン的量子場が、反復的（iterant）な離散的・時系列的プロセスから生じる基礎的な代数から導かれるという提案を行う。虚数単位の平方根を時間的振動（反復的）としてモデル化することで、クリフォード代数とスプリットケイリー数（split quaternions）が導かれ、マヨラナフェルミオンと電子の零元的構造（nilpotent structure）が自然にこれらの代数的構造から生じることが示され、明示的な複素数を含まない実数のマヨラナ形式のディラック方程式が得られる。

ABSTRACT

We discuss how basic Clifford algebra and indeed all of matrix algebra and matrix representations of finite groups comes from Iterants: very elementary processes such as an alternation of plus and minus one ...+-+-+- .... One can think of the square root of minus one as a temporal iterant, a product of an A and a B where the A is the ...+-+-+-... and the B is a time shift operator. We have AA = BB =1 and AB + BA = 0, whence (AB)(AB) = -1. Clifford algebra is at the base of the (mathematical) world and the Fermions are composed of these things. We discuss the diagrammatics and topology of Majorana Fermions and we discuss the structure of the Dirac equation and how nilpotent and Majorana operators arise naturally in this context. We end the paper with an expression in split quaternions (in iterant form) for the the Majorana Dirac equation in one dimension of time and three dimensions of space.

研究の動機と目的

• 連続的時空ではなく、離散的プロセスと反復的構造に基づいて、量子力学およびフェルミオン場の基礎を確立すること。
• 虚数単位の平方根が、離散的系における時間的振動と非可換観測から自然に生じることを示すこと。
• 反復的代数とスプリットケイリー数からディラック方程式とマヨラナフェルミオン構造を導出し、複素数に依存しない形で表現すること。
• 電子の零元的構造（nilpotent structure）とその反粒子が、クリフォード代数の枠組みにおいて2つのマヨラナフェルミオンから自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 虚数単位の平方根を反復的（iterant）としてモデル化する：+1と-1の周期的振動として、離散的時間プロセスを表す。
• 有限群、特に巡回群と対称群S_nから導かれる置換行列を用いて反復的代数を構築する。
• 2×2行列代数とスプリットケイリー数を反復的構造で表現し、クリフォード代数と同型であることを示す。
• スプリットケイリー代数の2つの可換なコピー（ε, η と ˆε, ˆη で生成）を用いて、実数のマヨラナディラック方程式を構成する。
• 反復的微分作用素に基づくディラック作用素を定義し、α_x = ˆηη、α_y = ε、α_z = ˆεη、β = iˆεˆηη とすることで、必要な反交換関係を満たす。
• 修正されたディラック作用素DがD²ψ = 0を満たすことを示し、フェルミオン自由度に対応する零元的解が得られることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚数単位の平方根は、数学的仮定としてではなく、離散的・時間的振動からどのように導かれるのであろうか？
• RQ2 反復的構造と非可換観測は、どのようにクリフォード代数と行列表現を生成するのであろうか？
• RQ3 2つの非可換で実数の作用素a, b（a² = b² = 1、ab = -baを満たす）から、マヨラナフェルミオンはどのように生じるのか？
• RQ4 明示的な複素数を避けて、実数微分作用素とスプリットケイリー数のみを用いてディラック方程式を再定式化できるか？
• RQ5 指示の微積分（calculus of indications）と再帰的区別（re-entrant marks）は、フェルミオン的作用素代数を生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 虚数単位の平方根は反復的（iterant）として示され、+1と-1の間の時間的振動として、数ではなく根本的なプロセスとして表される。
• εとηで生成されるスプリットケイリー代数（ε² = η² = 1、εη + ηε = 0）は、ディラック方程式の実数的代数的基盤を提供する。
• 2つの可換なスプリットケイリー代数のコピーを用いてマヨラナディラック方程式が構成され、明示的な複素数を含まない実数微分方程式が得られる。
• 作用素β = iˆεˆηηは、複素数単位iとスプリットケイリー的要素を組み合わせることでディラック代数を満たすが、複素数が実代数的構造の相互作用から生じることを示している。
• 修正されたディラック作用素Dの解はD²ψ = 0を満たし、フェルミオン統計と整合する零元的構造が確認される。
• 電子と陽電子φ = a + ib、φ† = a - ibを含むフェルミオン作用素代数全体が、クリフォード代数の枠組みにおいて2つのマヨラナフェルミオンから自然に生じる。