[論文レビュー] Non-commutative Calculus and Discrete Physics

Louis H. Kauffman|ArXiv.org|Mar 11, 2003

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非可換な代数的構造に基づく非可換微積分の枠組みを提案する。微分は交換子から生じ、曲率は非可換な微分の非可換性から生じる。この形式的枠組みからゲージ場、量子力学、微分幾何学が自然に導かれることが示され、主要な結果として最小結合の仮説およびゲージ理論と一般相対性理論における曲率の式が一致することが明らかになった。

ABSTRACT

Sequences of actions do not commute.. For example, the tick of a clock and the measurement of a position do not commute with one another, since the position will have moved to the next position after the tick. We adopt non-commutative calculus, with derivatives represented by commutators. In the beginning distinct derivatives do not commute with one another, providing curvature formalism so that the form of the curvature of a gauge field appears almost as soon as the calculus is defined. This provides context for the Feynman-Dyson derivation of electromagnetic formalism from commutators, and generalizations including the early appearance of the form of the Levi-Civita connection dervived from the Jacobi identity. In this version of non-commutative physics bare quantum mechanics (its commutation relations) appears as the flat background for all other constructions. Ascent to classical physics is obtained by replacing commutators with Poisson brackets that satisfy the Leibniz rule. An appendix on matrix algebra from a discrete point of view (Iterants) is provided. This paper will appear in the proceedings of the ANPA conference held in Cambridge, England in the summer of 2002.

研究の動機と目的

• 非可換微積分を用いて、物理学に離散的かつ代数的な基盤を確立すること。
• 量子力学とゲージ理論が、事前に仮定を設けずに非可換代数的構造から自然に導かれるということを示すこと。
• 曲率、計量、ゲージ場の起源を、交換子とヤコビ恒等式・ライブニッツの法則に基づく単一の形式的枠組みで統一すること。
• 数学的物理における観測者、記号、物理的現実の区別が、基礎的・哲学的意義をもつことの解明

提案手法

• 微分を交換子として定義：$ D A = [A, J] = A J - J A $、ここで $ J $ は時間的演算子である。
• ライブニッツの法則とヤコビ恒等式を用いて、非可換代数における微積分の整合性を保証する。
• 共変微分を $ abla_i Z = [Z, abla_i] = abla_i Z - [Z, A_i] $ で導入し、$ abla_i = P_i - A_i $ とする。
• 曲率を $ [ abla_i, abla_j] Z = [[ abla_i, abla_j], Z] $ として導出し、ゲージ場の曲率 $ F_{ij} = abla_i A_j - abla_j A_i + [A_i, A_j] $ と一致することを示す。
• 時間発展を $ dX_i/dt = abla_i = P_i - A_i $ でモデル化し、古典的および量子力学における最小結合に類似した形をとる。
• ステップサイズをコンプトン波長、時間をコンプトン時間と解釈することで、離散的微積分とブラウン運動およびシュレーディンガー方程式を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的空間を仮定せず、非可換代数から微積分と幾何学をどのように導出できるか？
• RQ2 離散的状況下で、交換子に基づく微分からゲージ場と曲率がどのように生じるか？
• RQ3 物理学における最小結合の仮説の代数的起源は何か？
• RQ4 非可換微積分が、量子力学および一般相対性理論の構造をどのように再現するか？
• RQ5 観測者とは、代数的差異から物理的現実が生じる際、どのような基礎的役割を果たすか？

主な発見

• 微分 $ D A = [A, J] $ はライブニッツの法則を満たし、可換な背景を仮定せずとも一貫した離散的微積分が可能である。
• 共変微分の曲率 $ [ abla_i, abla_j] $ は、標準的なゲージ場の曲率 $ F_{ij} = abla_i A_j - abla_j A_i + [A_i, A_j] $ と一致し、ゲージ理論が自然に導かれることが示された。
• 交換関係 $ [X_i, X_j] = 0 $、$ [P_i, P_j] = 0 $、$ [X_i, P_j] = abla_{ij} $ は、量子力学の正準交換関係を再現する。
• 離散的拡散過程を $ [X, DX] = Jk $ でモデル化すると、拡散定数は $ k/2 $ となり、確率過程における標準的結果と一致する。
• シュレーディンガー方程式は、複素振幅の拡散過程として現れ、ステップサイズがコンプトン波長、時間間隔がコンプトン時間に対応する。
• プランク質量において、離散的ステップサイズがプランク長さ、時間間隔がプランク時間に一致し、根本的な離散的時空構造が示唆される。