[論文レビュー] Iterated crossed products for groupoid fibrations

Alcides Buss, Ralf Meyer|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、群コホーブの作用を同値に一般化する群コホーブのファイブレーションを導入し、位相的群コホーブの交叉積の分解を可能にする。群コホーブのファイブレーション $ L \to H $ でファイバーが $ G $ であるとき、その C*-代数は反復交叉積 $ (A \rtimes G) \rtimes H $ に同型であることを証明しており、既知の結果を非エタール的で、局所ハウスドルフ的かつ局所コンパクトな群コホーブにまで拡張している。

ABSTRACT

We define and study fibrations of topological groupoids. We interpret a groupoid fibration L->H with fibre G as an action of H on G by groupoid equivalences. Our main result shows that a crossed product for an action of L is isomorphic to an iterated crossed product first by G and then by H. Here groupoid action means a Fell bundle over the groupoid, and crossed product means the section C*-algebra.

研究の動機と目的

• 非エタール的かつ非ハウスドルフな群コホーブに対し、群コホーブ作用の概念を自己同型から同値に一般化すること。
• 高階圏論とカンのファイブレーションにインspiredされたカテゴリカルな一般化として、群コホーブのファイブレーションを定義すること。
• 群コホーブのファイブレーションの C*-代数の分解を、基本群コホーブとファイバー群コホーブ上の反復交叉積として確立すること。
• 与えられた $ L $ 上のフェルバンドルから、基本群コホーブ $ H $ 上の飽和フェルバンドルを構成し、その断面 C*-代数が保存されることを保証すること。
• Čech群コホーブとファイブレーションを用いて、非ハウスドルフ群コホーブがその矢印空間上に作用するための C*-代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 群コホーブのファイブレーション $ L \to H $ を、$ H $ の各対象におけるファイバーが群コホーブ $ G $ である連続関手として定義し、変換群コホーブを一般化する。
• モリタ＝リーフェル同値を用いた作用をモデル化するため、群コホーブ上の飽和フェルバンドルの概念を用いる。
• 元のバンドルを $ L $ 上で制限することで、$ H $ 上にファイバー $ \mathrm{C}^*(G) $ を持つフェルバンドルを構成する。
• 誘導された $ H $ 上のフェルバンドルの断面 C*-代数が、普遍性の議論により $ \mathrm{C}^*(L) $ に同型であることを証明する。
• 群コホーブ $ G $ と $ H $ にハール系を用いて、$ L $ に整合性を持つハール系を誘導し、C*-代数構造と整合性を保つ。
• 強制的全射コサイクル $ L \to H $ の例（特に $ H = \mathbb{Z} $）に理論を適用し、Cuntz–Pimsner代数を特別な場合として回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エタール的かつ非ハウスドルフな設定において、群コホーブ作用を自己同型から同値に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 ファイバーが $ G $ である関手 $ L \to H $ が、C*-代数に整合性のある反復交叉積構造を誘導するための条件は何か？
• RQ3 群コホーブのファイブレーション $ L \to H $ の C*-代数は、適切な $ L $ の作用をもつ C*-代数 $ A $ に対して $ (A \rtimes G) \rtimes H $ に分解可能か？
• RQ4 バンドルを $ L $ 上から $ H $ 上にフェルバンドルを構成する際、その断面 C*-代数はどのように保存されるか？
• RQ5 ハール系は、全群コホーブ上に誘導される C*-代数構造の整合性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ファイバーが $ G $ である群コホーブのファイブレーション $ L \to H $ は、$ H $ が $ \mathrm{C}^*(G) $ 上にモリタ＝リーフェル同値による作用を定義する。
• 全群コホーブ $ L $ の C*-代数は、$ A = \mathrm{C}^*_0(G) $ とすると、反復交叉積 $ (A \rtimes G) \rtimes H $ に同型であり、古典的な $ \mathrm{C}^*(X \rtimes H) \cong \mathrm{C}_0(X) \rtimes H $ の結果を一般化する。
• 強制的全射コサイクル $ L \to H $ に対して、C*-代数 $ \mathrm{C}^*(L) $ は、ファイバーが $ \mathrm{C}^*(G) $ である $ H $ 上の飽和フェルバンドルの断面 C*-代数に同型である。
• $ H = \mathbb{Z} $ のとき、結果は Cuntz–Pimsner代数の構成を回復し、$ \mathrm{C}^*(L) $ がヒルベルト双加群 $ \mathfrak{B}_1 $ の Cuntz–Pimsner代数に一致することを特定する。
• バンドル係数への拡張も可能である：誘導された同値双加群のリンク C*-代数は、$ L $ 上のリンクフェルバンドルの断面 C*-代数に同型である。
• この理論は、非ハウスドルフ群コホーブにも適用可能であり、特に局所ハウスドルフ群コホーブの矢印空間の被覆に対応する Čech 群コホーブを含む。これにより、その平行移動作用の C*-代数的モデルが提供される。