[論文レビュー] Iterated integrals of superconnections

Kiyoshi Igusa|ArXiv.org|Dec 1, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、滑らかな単体上での${\mathbb{Z}}$-次数付きスーパー接続のチエンの反復積分が、スーパー接続が平坦である場合かつその場合に限り$A_{∞}$ファンクターを定める、と確立する。この構成はチエンの微分的ねじれコチェーン理論を一般化し、高次リードマイスター torsion への応用において、その多項式的および多重対数的構造のため高次項が無視可能になるという鍵となる洞察を含む。

ABSTRACT

Starting with a Z-graded superconnection on a graded vector bundle over a smooth manifold M, we show how Chen's iterated integration of such a superconnection over smooth simplices in M gives an A-infinity functor if and only if the superconnection is flat. If the graded bundle is trivial, this gives a twisting cochain. Very similar results were obtained by K.T. Chen using similar methods. This paper is intended to explain this from scratch beginning with the definition and basic properties of a connection and ending with an exposition of Chen's "formal connections" and a brief discussion of how this is related to higher Reidemeister torsion.

研究の動機と目的

• 平坦な${\mathbb{Z}}$-次数付きスーパー接続と$A_{\mathbb{Z}}$-ファンクターとの間の明確な対応関係を、チエンの反復積分を通じて確立すること。
• スーパー接続における可変微分$A_0$の役割を明確にし、高次リードマイスター torsion 応用においてそれが本質的であることを示すこと。
• スーパー接続における高次項$A_1, A_2, \dots$が、多項式的依存性と対数関数的項からの線形独立性のため、torsion 公式において無視可能であることを示すこと。
• 可変境界写像を組み込み、幾何学的およびホモトピー的構造を明確化することで、K.T. チエンの初期の微分的ねじれコチェーンに関する研究を統合的かつ拡張すること。

提案手法

• チエンの反復積分法を用いて、経路空間$\mathrm{P}M$上にスーパー接続成分$A_i$を含む微分方程式を満たす形式$\Psi_p$の系列を構成する。この際、$A_0$は可変微分として機能する。
• この構成は、経路に沿った1階常微分方程式を積分因子を用いて解くことに依存し、スーパー接続成分は$A_k/t = \iota_{\gamma'} \mathrm{ev}_t^* A_k$により経路の接ベクトルと縮約される。
• 本稿は、平行移動$\Psi_k$が、スーパー接続が平坦（$D^2 = 0$、$D = d - \sum A_i$）である場合かつその場合に限り、高次ホモトピー関係を満たすコチェーン写像を定める、と証明する。
• 経路の平行移動を単体上で積分することで、$M$の特異ホモロジー複体のコバーブル構成から$\mathrm{End}(V_\ast)$へのチェーン写像が構成され、これにより$A_{\infty}$ファンクターが得られる。
• 結果として得られる$A_{\infty}$構造は、バンドルが自明な場合にねじれコチェーンに一致し、多項式的依存性と対数関数的項の線形独立性のため、高次 torsion 不変量は$A_0$にのみ依存することが示される。
• 本構成は、チエンの元々の立方体チェーンに関する研究と比較され、折れ線的経路の滑らか化が再パrametrization不変性のため無視可能であることが証明され、単体的および立方体的構成が同値であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チエンのスーパー接続の反復積分が、どのような条件下で$A_{\infty}$ファンクターを生成するか。
• RQ2 可変微分$A_0$が、初期の定式化では無視されていたにもかかわらず、高次リードマイスター torsion の構成においてなぜ本質的であるのか。
• RQ3 スーパー接続における高次項$A_1, A_2, \dots$は torsion 不変量にどのように影響を及ぼし、なぜ無視できるのか。
• RQ4 平坦なスーパー接続とチエンの枠組みにおける微分的ねじれコチェーンとの間の正確な関係は何か。
• RQ5 $M$の特異ホモロジー複体のコバーブル構成と、スーパー接続によって誘導される$A_{\infty}$構造との関係は何か。

主な発見

• スーパー接続の反復積分が$A_{\infty}$ファンクターを生じるための必要十分条件は、スーパー接続が平坦であること、すなわち$D^2 = 0$（$D = d - \sum A_i$）である。これは、高次ホモトピー条件と平坦性条件が同値であることで示される。
• この$A_{\infty}$ファンクターの構成は、境界条件$d\Psi_k - \Psi_k d = d\Psi_{k-1}$がスーパー接続の平坦性と同値であるという階層的チェーン写像およびホモトピーの系列に由来する。
• 次数付きベクトルバンドルが自明な場合、この構成はねじれコチェーンを生じ、チエンの微分的ねじれコチェーン理論を一般化する。
• 次数$2k$における高次リードマイスター torsion 不変量は、補正項が多項式的であり、対数関数的主項から線形独立であるため、$A_0$にのみ依存する。
• 本稿は、チエンの元々の一般化されたホロノミー写像（立方体チェーン上）が、本稿で提示された単体的構成と同値であることを確認しており、再パラメータライゼーション不変性のため経路の滑らか化は無関係である。
• 特異ホモロジー複体のコバーブル構成は、DGA$\mathrm{End}(V_\ast)$へのチェーン写像を備え、これは$A_{\infty}$ファンクターをなす。$M$が単連結であるとき、この写像はホモロジーで同型である。