[論文レビュー] Iterating the Pimsner construction

Valentin Deaconu|ArXiv.org|Jul 11, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、C*-代数上の2つの可換なヒルベルト双加群から生じる反復Cuntz-Pimsner代数のK理論を計算するためのフレームワークを開発する。Douglas-HoweおよびPimsner-Voiculescuの図式にインspiredされた3×3図式を用い、二重のテンソル積における固定同型写像を活用することで、代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ のK群を計算する正確な系列を確立する。このフレームワークは、ランク2のグラフやアーベルC*-代数上の可換自己準同型に応用可能である。

ABSTRACT

For $A$ a $C^*$-algebra, $E_1, E_2$ two Hilbert bimodules over $A$, and a fixed isomorphism $χ: E_1\otimes_AE_2 o E_2\otimes_AE_1$, we consider the problem of computing the $K$-theory of the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{E_2\otimes_A{\mathcal O}_{E_1}}$ obtained by extending the scalars and by iterating the Pimsner construction. The motivating examples are a commutative diagram of Douglas and Howe for the Toeplitz operators on the quarter plane, and the Toeplitz extensions associated by Pimsner and Voiculescu to compute the $K$-theory of a crossed product. The applications are for Hilbert bimodules arising from rank two graphs and from commuting endomorphisms of abelian $C^*$-algebras.

研究の動機と目的

• 2つのヒルベルト双加群に対するPimsner構成を反復して得られるCuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ のK理論を計算すること。
• Douglas-HoweおよびPimsner-Voiculescuの図式を、反復Cuntz-Pimsner代数に一般化した3×3正確な系列フレームワークに拡張すること。
• 反復代数のK群とより単純なテンソル積およびトーピツ代数のK群を関連付けるK理論の正確な系列を提供すること。
• 具体的な事例にこのフレームワークを適用すること、特にランク2のグラフやアーベルC*-代数上の可換自己準同型に。
• 二重加群の可換化同型写像 $\chi: E_1 \otimes_A E_2 \to E_2 \otimes_A E_1$ が反復代数の構造を決定する役割を明確にすること。

提案手法

• スカラーを $A$ から ${\mathcal{O}}_{E_1}$ に拡張し、再びPimsner構成を適用することで、反復Cuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ を構成する。
• 固定された同型写像 $\chi: E_1 \otimes_A E_2 \to E_2 \otimes_A E_1$ を用いて、2つの双加群の整合性を保ち、拡張代数上のテンソル積構造を定義する。
• ${\mathcal{T}}_{E_1}$, ${\mathcal{O}}_{E_1}$, ${\mathcal{T}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{T}}_{E_1}}$ および ${\mathcal{K}}$ を含むC*-代数の3×3可換図式を構築する。
• 3×3図式の各行および各列にK理論の6項正確系列を適用し、反復代数のK群と基本的構成要素のK群を関連付ける。
• ゲージ作用と固定点代数を用いてCuntz-Pimsner代数のコアを解析し、K理論的情報を抽出する。
• 既知のトーピッツ代数およびCuntz代数のK理論計算を活用し、特定の例における反復構成のK群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト双加群 $E_1$ および $E_2$ がC*-代数 $A$ 上にあり、固定された可換化同型写像 $\chi$ を持つとき、反復Cuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ のK理論はどのように計算できるか？
• RQ2 反復Pimsner代数のためのDouglas-HoweおよびPimsner-Voiculescu構成を一般化したC*-代数の3×3図式の構造は何か？
• RQ3 3×3図式から導かれるK理論正確系列は、反復代数のK群とトーピッツ代数およびコンパクト作用素のテンソル積のK群をどのように関連付けるか？
• RQ4 ランク2のグラフおよびアーベルC*-代数上の可換自己準同型の状況における ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ のK理論群は何か？
• RQ5 同型写像 $\chi: E_1 \otimes_A E_2 \to E_2 \otimes_A E_1$ が、例えば ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}^m \otimes {\mathcal{O}}_n} \cong {\mathcal{O}}_m \otimes {\mathcal{O}}_n$ のような異なる反復代数同士の同型を誘導する条件は何か？

主な発見

• 反復Cuntz-Pimsner代数 ${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ のK理論は、C*-代数の3×3図式とそれに付随するK理論の6項正確系列を通じて計算される。
• $E_1 = \mathbb{C}^m$, $E_2 = \mathbb{C}^n$, および $\chi$ がフリップ写像である場合、代数 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{C}}^m \otimes {\mathcal{O}}_n}$ は ${\mathcal{O}}_m \otimes {\mathcal{O}}_n$ に同型であり、そのK理論は $K_0 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, $K_1 = 0$ である。
• 可換自己準同型 $\sigma_i(x) = x^{p_i}$ を持つ $A = C(\mathbb{T})$ において $p_1, p_2$ が互いに素である場合、${\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}$ のK理論は、$K_0$ に $\mathbb{Z}^2 \oplus \mathbb{Z}_{p_1-1} \oplus \mathbb{Z}_{p_2-1}$ を含み、$K_1$ は $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ に同型である正確な系列に含まれる。
• $K_0$ の正確系列は $K_0({\mathcal{T}}_{\alpha_1} \otimes {\mathcal{K}} + {\mathcal{K}} \otimes {\mathcal{T}}_{\alpha_2}) \to \mathbb{Z} \to K_0({\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}})$ であり、$\mathbb{Z}$ への写像は全射である。
• $K_1$ の正確系列は $K_1({\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}}) \leftarrow \mathbb{Z} \leftarrow K_1({\mathcal{T}}_{\alpha_1} \otimes {\mathcal{K}} + {\mathcal{K}} \otimes {\mathcal{T}}_{\alpha_2})$ であり、$K_1({\mathcal{O}}_{E_2 \otimes_A {\mathcal{O}}_{E_1}})$ が $\mathbb{Z}$ に全射であることを示している。
• このフレームワークは、$n$-トーラス $\mathbb{T}^n$ の被覆に一般化され、より高次の力学系へのK理論計算へと拡張可能である。