[論文レビュー] Iterative Methods for Photoacoustic Tomography with Variable Sound Speed

Markus Haltmeier, Linh V. Nguyen|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可変音速を伴う反復型光音響トモグラフィー再構成において、収束を加速し、誤差推定を改善するための修正された随伴作用素を提案する。可視性条件の下で$L^2$および$H^1$ノルムにおける線形収束レートを確立し、Nesterov法および共役勾配法がLandweber法および反復的時間反転法よりも、可視および非可視両ケースにおいて優れた性能を示すことを示している。

ABSTRACT

In this article, we revisit iterative methods for solving the inverse problem of photoacoustic tomography in free space. Recently, there have been interesting developments on explicit formulations of the adjoint operator, demonstrating that iterative methods could be an attraktive choice for photoacoustic image reconstruction. In this work, we propose several modifications of current formulations of the adjoint operator which help speed up the convergence and yield improved error estimates. We establish a stability analysis and show that, with our choices of the adjoint operator, Landweber's and the CG methods can achieve a linear rate of convergence either in $L^2$ or $H^1$ norm under the visibility condition. In addition, we analyze the normal operator from the microlocal analysis point of view. This helps us to have more insight into the convergence speed of the iterative methods as well as choosing proper weights for the mapping spaces. Finally, we present numerical results using various iterative reconstruction methods for trapping as well as non-trapping sound speed. Our results demonstrate that Nesterov's fast gradient and the CG methods converge faster than Landweber's and iterative time reversal methods in the visible as well as the invisible case.

研究の動機と目的

• 可変音速を伴う反復的光音響トモグラフィー再構成における収束速度および誤差推定の向上を目的とする。
• 反復的ソルバーの性能を向上させるために、随伴作用素の修正された定式化を開発することを目的とする。
• 可視性条件の下で、Landweber法および共役勾配法の$L^2$および$H^1$ノルムにおける理論的収束レートを確立することを目的とする。
• 微局所解析を用いて正規作用素を分析し、収束行動および関数空間における最適な重み付けの理解を深めることを目的とする。
• トラッピングおよび非トラッピングな音速構成における反復的手法の数値的性能を評価・比較することを目的とする。

提案手法

• 明示的定式化に基づく修正された随伴作用素を導出し、反復的再構成における収束を加速する。
• 安定性解析を適用し、可視性条件の下で$L^2$および$H^1$ノルムにおける線形収束レートを証明する。
• 正規作用素の微局所解析を実施し、特異性の構造を理解し、関数空間の重み付けの選定を支援する。
• 数値的評価に、Landweber法、共役勾配法（CG）、Nesterovの高速勾配法、および反復的時間反転法を用いる。
• トラッピングおよび非トラッピングな構成における性能評価のため、可変音速モデルを用いる。
• 微局所的知見に基づいて、問題固有の重み付けをマッピング空間に導入し、再構成品質の向上を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変音速を伴う光音響トモグラフィーにおける随伴作用素は、どのように修正することで収束速度および誤差推定を向上させることができるか？
• RQ2 可視性条件の下で、$L^2$および$H^1$ノルムにおけるLandweber法およびCG法の理論的収束レートは何か？
• RQ3 正規作用素の微局所解析は、反復的ソルバーの関数空間重み付けの選定にどのように寄与するか？
• RQ4 トラッピングおよび非トラッピングな音速プロファイルを持つ画像を再構成する際、反復的手法の性能はどのように比較されるか？
• RQ5 可視および非可視ケースにおいて、Nesterovの高速勾配法およびCG法は、Landweber法および反復的時間反転法に比べて相対的にどの程度速く収束するか？

主な発見

• 提案された修正された随伴作用素により、可視性条件の下でLandweber法および共役勾配法が、$L^2$および$H^1$ノルムの両方で線形収束レートを達成できるようになった。
• Nesterovの高速勾配法および共役勾配法は、可視および非可視両ケースにおいて、Landweber法および反復的時間反転法よりも高速に収束する。
• 正規作用素の微局所解析は、特異性の構造を理解する手がかりを提供し、関数空間における最適な重み付けの選定を支援する。
• 安定性解析により、可視性条件の下で、修正された反復スキームの収束行動が堅牢であることが確認された。
• 数値結果により、多様な音速モデルにおいて、提案された随伴作用素定式化により再構成品質が向上し、収束が高速化されることが示された。