[論文レビュー] Ivy on the ceiling: first-order polymer depinning transitions with quenched disorder

Kenneth S. Alexander|ArXiv.org|Dec 21, 2006

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、散乱する高分子モデルにおける1次遷移のピン留めを調査し、基礎となるマルコフ連鎖の遷移長が指数的減少を示す場合（例えば、非一様なランダムウォーク）、クエンチド不純物がピン留め遷移を滑らかにしないことを示している。その結果、接触率が不連続となり、クエンチドとアンネールドの臨界点が厳密に異なる。これは、べき則的尾部を持つ系では不純物が遷移を滑らかにするという以前の結果とは対照的である。

ABSTRACT

We consider a polymer, with monomer locations modeled by the trajectory of an underlying Markov chain, in the presence of a potential thatinteracts with the polymer when it visits a particular site 0. Disorder is introduced by having the interaction vary from one monomer to another, as a constant $u$ plus i.i.d. mean-0 randomness. There is a critical value of $u$ above which the polymer is pinned, placing a positive fraction (called the contact fraction) of its monomers at 0 with high probability. When the excursions of the underlying chain have a finite mean but no finite exponential moment, it is known that the depinning transition (more precisely, the contact fraction) in the corresponding annealed system is discontinuous. One generally expects the presence of disorder to smooth transitions, and it was proved by Giacomin and Toninelli that when the excursion length distribution has power-law tails, the quenched system has a continuous transition even if the annealed system does not. We show here that when the underlying chain is transient but the finite part of the excursion length distribution has exponential tails, then the depinning transition is discontinuous even in the quenched system, and the quenched and annealed critical points are strictly different. By contrast, in the recurrent case, the depinning behavior depends on the subexponential prefactors on the exponential decay of the excursion length distribution, and when these prefactors decay with an appropriate power law, the quenched transition is continuous even though the annealed one is not.

研究の動機と目的

• 基礎となるマルコフ連鎖の遷移長が指数的減少を示す高分子において、クエンチド不純物が1次ピン留め遷移を滑らかにするかを特定すること。
• クエンチド臨界点とアンネールド臨界点が異なる条件を調査すること。
• 基礎となる連鎖が指数的尾部減衰を示す場合、クエンチド系における接触率と自由エネルギーの挙動を分析すること。
• アンネールド遷移が不連続であるがクエンチド遷移が連続であるか否かを検討するケースを検討することで、不純物系におけるハリス基準の理解を拡張すること。

提案手法

• 高分子を、サイト0にピン留めポテンシャルを持つマルコフ連鎖の軌道としてモデル化し、相互作用強度を $ u + V_i $ とし、平均ゼロの独立同分布不純物 $ \{V_i\} $ を用いる。
• クエンチドおよびアンネールド自由エネルギーを、$ W_{\beta,u,P^X} $ というギブス測度により定義し、接触率は自由エネルギーを $ u $ で微分することで得られる。
• クエンチドとアンネールドの挙動を比較するため、分布をシフトさせた「緩められた」系を構築するために、チルティング（ギルサノフ型）変換を適用する。
• 変分原理および大偏差推定を用いて、元の系と緩められた系における自由エネルギーと接触率を比較する。
• 有効なチルティングパラメータを定義するための条件 $ M_E(b_E) < \infty $ を用い、自由エネルギーの翻訳により臨界点を比較可能にする。
• 緩められた系からの正の量の平行移動として表されるため、クエンチド接触率がクエンチド臨界点で0から離れていることを示すことで、不連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基礎となる遷移長分布が指数的尾部を示す場合、クエンチド不純物が1次ピン留め遷移を滑らかにするか？
• RQ2 遷移長に指数的減衰がある系において、クエンチド臨界点とアンネールド臨界点が異なるか？
• RQ3 指数的減衰における非指数的係数が、クエンチド遷移の連続性に与える影響は何か？
• RQ4 再帰的および非再帰的設定において、クエンチド系とアンネールド系における接触率の挙動にどのような違いがあるか？
• RQ5 不純物による遷移の滑らか化を予測できないハリス基準が、どのような条件下で失敗するか？

主な発見

• 基礎となるマルコフ連鎖の遷移長が指数的尾部減衰を示す場合（例：非一様なランダムウォーク）、クエンチド不純物が存在してもピン留め遷移は不連続のままである。
• クエンチド臨界点 $ u_c^q $ はアンネールド臨界点 $ u_c^a $ よりも厳密に大きい。これは不純物による本質的シフトを示している。
• クエンチド系における接触率は、臨界点で0から離れている。自由エネルギーの導関数が不連続にジャンプすることから、不連続性が証明される。
• $ u > u_c^q $ に対して、クエンチド自由エネルギーとアンネールド自由エネルギーの差は $ \frac{1}{2}\beta^2 y^2 $ 以上であり、$ y > 0 $ である。これにより、臨界点が異なることが確認される。
• 再帰的状況では、指数的減衰に適切な指数のべき則的係数が付加されると、アンネールド遷移が不連続であってもクエンチド遷移は連続的になる。
• クエンチド系における接触率は、緩められた系の接触率の平行移動版であり、その移動量は0から離れている。これにより、不連続性が保証される。