[論文レビュー] Iwasawa Main Conjecture for $p$-adic families of elliptic modular cuspforms

Tadashi Ochiai|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、非通常型の楕円モジュラー尖点形式（Coleman族）の $p$-進族に対して、新たに構成したColeman写像を用いて、Euler系の方法により二変数Iwasawa主予想を確立する。主な結果は、Galois表現の像に関する条件（SL）の下で、二変数Iwasawa代数におけるSelmer群と $p$-進 $L$-関数の特徴的イデアルの等号を示す。

ABSTRACT

In this article, we discuss Iwasawa Main Conjecture for $p$-adic families of elliptic modular cuspforms. After the overview on the situation of the ordinary case of Hida family, we will introduce a Coleman map for Coleman family for the non-ordinary case (Coleman family) which was obtained as a joint work with Filippo Nuccio [NO16] and we give some results on Iwasawa Theory for Coleman families as applications of . First, we give a construction of a two-variable $p$-adic $L$-function for a Coleman family thanks to the ingredients given in [NO16] (Theorem 5.1). Combining this result and Coleman map obtained in [NO16], we also construct Beilinson-Kato Euler systems over a Coleman family (Thorem 5.3). Finally we formulate Iwasawa Main conjecture for a Coleman family and prove the half of Iwasawa Main Conjecture (Theorem 5.6).

研究の動機と目的

• 通常型 $p$-進族（Hida族）におけるIwasawa主予想を、非通常型 $p$-進族（Coleman族）の楕円モジュラー尖点形式へ拡張すること。
• 特に格子依存性と複素周期の選択に関する古典的理論のギャップを埋めること。
• Iwasawa理論における非通常型設定の基礎的道具として、Coleman族に対するColeman写像を構成すること。
• Euler系の方法を用いて、Coleman族に対する二変数Iwasawa主予想を確立し、特徴的イデアルの等号を証明すること。
• 非通常型の場合の体系的取り扱いを提供し、先行文献でしばしば無視されがちな微妙な技術的問題を含むこと。

提案手法

• Filippo Nuccio氏との共同手法により、Coleman族に対するColeman写像を構成し、非通常型設定における $p$-進 $L$-関数とSelmer群の研究を可能にする。
• Beilinson-KatoのEuler系をColeman族上に適用し、Coleman写像を用いてコhomology的類と $p$-進 $L$-関数を関連付ける。
• 二変数設定における一般化されたIwasawa主予想の枠組みを用い、Iwasawa代数 $\Lambda_{(k_0;r),\mathcal{O}_K}\widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p}\Lambda_{\mathrm{cyc}}$ を使用する。
• 特に、cyclotomic字にねじれた双対表現の $H^1$ および $H^2$ 群を含むSelmer群とGaloisコhomologyの道具立てを実装する。
• Theorem 4.5（Euler系の帰結を示す一般基準）を適用し、(SL) 条件の下で特徴的イデアルの等号を導出する。
• 制御定理と擬似零部分加群解析を用いて、ねじれ加群を取り扱い、特徴的イデアルの主張の妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、モジュラー形式の通常型 $p$-進族から非通常型 $p$-進族へのIwasawa主予想を拡張できるか？
• RQ2 Coleman写像は、非通常型族における $p$-進 $L$-関数とEuler系の構成において果たす役割は何か？
• RQ3 Euler系の方法は、非通常型設定における二変数Iwasawa理論にどのように適用できるか？
• RQ4 非通常型設定において、Selmer群と $p$-進 $L$-関数の特徴的イデアルが一致するための条件は何か？
• RQ5 Galois表現の像に関する条件（SL）は、二変数Iwasawa主予想の妥当性にどのように影響するか？

主な発見

• 条件（SL）の下で、Coleman族に対する二変数Iwasawa主予想が成立し、二変数Iwasawa代数における特徴的イデアルの等号が成り立つ。
• Coleman族に対するColeman写像の構成により、族全体にわたる臨界 $L$-値を補間する $p$-進 $L$-関数の定義が可能になる。
• Coleman写像を用いて、Coleman族上にBeilinson-KatoのEuler系が構成され、Galois表現に対するコhomology的Euler系が得られる。
• 条件（SL）の下で、Selmer群 $H^1(\mathbb{Q}_\Sigma/\mathbb{Q}, (\mathbb{T} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \Lambda^\sharp_{\mathrm{cyc}})^*(1))$ がEuler系類を modulo した群が、$H^2$ 項と同じ特徴的イデアルを持つことが示された。
• $H^2(\mathbb{Q}_\Sigma/\mathbb{Q}, (\mathbb{T} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Z}_p} \Lambda^\sharp_{\mathrm{cyc}})^*(1))$ のねじれ性が確立され、特徴的イデアルの等号のための重要なステップが達成された。
• 特に $p$ を割るレベルを持つ通常型形式について、Katoの研究における技術的ギャップを、格子依存性と周期の選択について詳細に取り扱うことで解決した。