[論文レビュー] Iwasawa theory of overconvergent modular forms, I: Critical $p$-adic $L$-functions

David J. Hansen|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、古典的点におけるカトウのゼータ要素を補間するp進ゼータ要素のオイラー系を用いて、固有曲線上に二変数p進L関数を構成する。ビッグレジスターマップを適用することで、p進L関数を完全に代数的に構成し、ポラック＝スティーブンスおよびカトウ–ペリヌ＝ルアの方法で定義された臨界勾配p進L関数の等号を証明する。

ABSTRACT

We construct an Euler system of $p$-adic zeta elements over the eigencurve which interpolates Kato's zeta elements over all classical points. Applying a big regulator map gives rise to a purely algebraic construction of a two-variable $p$-adic $L$-function over the eigencurve. As a first application of these ideas, we prove the equality of the $p$-adic $L$-functions associated with a critical-slope refinement of a modular form by the works of Bellaïche/Pollack-Stevens and Kato/Perrin-Riou.

研究の動機と目的

• 古典的点におけるカトウのゼータ要素を補間する固有曲線上でのp進ゼータ要素のオイラー系の構成。
• ビッグレジスターマップを介した、固有曲線上における二変数p進L関数の完全な代数的構成。
• ポラック＝スティーブンスとカトウ–ペリヌ＝ルアの方法で定義された臨界勾配修正のp進L関数の間の長年の比較問題の解決。
• コロンベール族および固有曲線上の普遍ガロア表現に関する整数的構造に関する基礎的結果の確立。
• 二変数イwasawa理論のメイン予想の基盤を築くこと、後続の論文に延期。

提案手法

• エタール過収束コホロロジーにおけるチーン類写像と円分ゼータ要素を用いてビッグゼータ要素を構成する。
• 過収束コホロロジーおよび局所解析的分布の理論を用いて、コロンベール族における整数的構造を定義する。
• ガロアコホロロジーから普遍ガロア表現のクリスタル双対へのビッグレジスターマップを適用する。
• 名門点におけるレジスターマップの特殊化により、代数的および解析的p進L関数を関連付ける。
• ヴィシクの定理およびローリヒの非消滅結果を用いて、臨界点におけるレジスターマップの非退化性を保証する。
• 名門点のザリスキ的稠密性およびL値の非消滅性を用いて、p進L関数の全球的等号（定数倍を除く）を導出し、その後L値の非消滅性により定数を1に正規化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的点におけるカトウのゼータ要素を補間する固有曲線上でのp進ゼータ要素のオイラー系を構成可能か？
• RQ2 レジスターマップを介した完全な代数的構成により、固有曲線上での二変数p進L関数を構成可能か？
• RQ3 モジュラー形式の臨界勾配修正に関して、ポラック＝スティーブンス法とカトウ–ペリヌ＝ルア法で定義されたp進L関数は一致するか？
• RQ4 過収束モジュラー形式の文脈において、代数的および解析的p進L関数の関係は何か？
• RQ5 このようなオイラー系およびレジスターマップを通じて、二変数イwasawa理論のメイン予想に到達可能か？

主な発見

• 本稿は、ビッグレジスターマップをp進ゼータ要素のオイラー系に適用することで、固有曲線上に二変数p進L関数を構成する。
• 構成されたp進L関数は、すべての有限勾配の古典的点においてカトウのゼータ要素を補間する。
• ポラック＝スティーブンス法およびカトウ–ペリヌ＝ルア法で定義されたp進L関数が、臨界勾配修正に関して等しいことが確立される。
• 解析的および代数的p進L関数の比が非ゼロ定数であることが示され、その定数は補間点におけるL値の非消滅性により1に正規化される。
• 証明は名門点のザリスキ的稠密性およびローリヒの定理によるレジスターマップの非退化性に依拠する。
• 本手法により、p進L関数は完全に代数的に構成され、解析的接続や固有曲線枠組みを超えるp進モジュラー形式を必要としない。