[論文レビュー] Jacob's ladders and the first asymptotic formula for the expression of the fifth order $Z^3[...]\hat{Z}^2(t)$ for the collection of disconnected sets

Jan Moser|ArXiv.org|Dec 1, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、リーマン・ゼータ関数のZ関数およびその変換版 $\hat{Z}^2(t)$ の五次相関に関する、初めての漸近公式を、ヤコブの階段写像から生じる不連続集合上に確立する。この公式は、遠く離れた零点クラスタ間の非局所的かつハッブルに似た相互作用を明らかにし、これらの集合上の積分は $\rho_1 + \rho_2 + \rho_3$ および $\ln P$ を含む位相シフトに依存する振動的挙動を示す。この公式は、バラスブラマニアン、イヴァイッチ、ヒース＝ブラウンの既存理論からは導出できない。

ABSTRACT

It is shown in this paper that there is a fine correlation of the fifth order between the values $Z[ϕ(t)/2+ρ_1]Z[ϕ(t)/2+ρ_2]Z[ϕ(t)/2+ρ_3]$ and $\hat{Z}^2(t)$ which correspond to two collections of disconnected sets. This new asymptotic formula cannot be obtained within known theories of Balasubramanian, Heath-Brown and Ivic.

研究の動機と目的

• 不連続集合上での五次式 $Z[\varphi(t)/2+\rho_1]Z[\varphi(t)/2+\rho_2]Z[\varphi(t)/2+\rho_3]\hat{Z}^2(t)$ の初の漸近公式を導出すること。
• 集合が無限に離隔しているにもかかわらず、Z関数とその変換版の二乗間の非局所的相関を確立すること。
• この漸近的挙動が、バラスブラマニアン、ヒース＝ブラウン、イヴァイッチの既知の手法では得られないことの証明。
• 不連続集合上での五次関数の正負の面積測度の漸近的等価性を調査し、混沌としたバランス則を明らかにすること。

提案手法

• ヤコブの階段は、リーマン＝シーゲルのシータ関数の逆関数を用いて定義され、臨界線上の区間を不連続集合 $\mathring{G}_5$ および $\mathring{G}_6$ に写像する。
• $\hat{Z}^2$-変換を適用して、変換された集合上の積分を元の区間 $G_5$ および $G_6$ 上の積分に変換する。恒等式 $\int_{\mathring{G}} f(\varphi(t)/2)\hat{Z}^2(t) dt = 2\int_G f(t) dt$ を用いる。
• 中心的な導出には、[6]で既に確立された $\int_{G_5} Z(t+\rho_1)Z(t+\rho_2)Z(t+\rho_3) dt$ の立方相関公式が用いられ、振動的漸近構造が得られる。
• 漸近公式は、$\hat{Z}^2$-変換と既知の立方相関結果を組み合わせることで得られ、誤差 $\mathcal{O}(T^{13/16+\epsilon})$ を持つ位相依存の振動項を含む。
• 解析では $U \in [T^{13/16+2\epsilon}, T^{7/8+\epsilon/2}]$ および $\rho_i = \mathcal{O}(T^{1/48-\epsilon})$ を仮定し、漸近的領域の有効性を保証する。
• 写像 $\varphi(t)$ は $t - \varphi(t)/2 \sim (1-c)\pi(t)$ を満たすものとし、これにより変換された集合 $\mathring{G}_5$ および $\mathring{G}_6$ が互いに非交差かつ距離 $\sim (1-c)T/\ln T$ で遠ざかることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続集合上での五次積 $Z[\varphi(t)/2+\rho_1]Z[\varphi(t)/2+\rho_2]Z[\varphi(t)/2+\rho_3]\hat{Z}^2(t)$ の新たな漸近公式を導出可能か？
• RQ2 積分集合が無限に離隔している場合、Z関数と $\hat{Z}^2(t)$ の値間に非局所的相関が存在する性質は何か？
• RQ3 なぜこの漸近公式はバラスブラマニアン、ヒース＝ブラウン、イヴァイッチの枠組みでは得られないのか？
• RQ4 不連続集合上での五次関数の正負寄与の漸近的バランスはどのように振る舞うか？
• RQ5 位相 $\rho_1 + \rho_2 + \rho_3$ は、積分の振動的構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 集合 $\mathring{G}_5(x_1,x_2)$ 上での積分は漸近的に $\frac{4}{\pi}U\sin\frac{x_2-x_1}{2}\cos\left\{\frac{x_1+x_2}{2}+(\rho_1+\rho_2+\rho_3)\ln P\right\} + \mathcal{O}(T^{13/16+\epsilon})$ に漸近し、$\mathring{G}_6(y_1,y_2)$ に対しても同様の式が成り立つが符号が負である。
• この公式は $T^{13/16+2\epsilon} \leq U \leq T^{7/8+\epsilon/2}$ および $\rho_i = \mathcal{O}(T^{1/48-\epsilon})$ の条件下で有効であり、漸近的領域の成立を保証する。
• $\mathring{G}_5$ および $\mathring{G}_6$ は非交差であり、距離 $\sim (1-c)T/\ln T$ で遠ざかっており、互いに遠ざかる銀河のハッブルの法則を模倣する。
• $\rho_1 + \rho_2 + \rho_3 = \frac{2k\pi}{\ln P}$ のとき、被積分関数の正負の部分の面積測度が漸近的に等しくなり、$\int_{\text{pos}} \sim -\int_{\text{neg}}$ となる。これは相殺を示唆する。
• この公式は、リーマン・ゼータ関数理論における五次式に対して、類型のない初のものであり、バラスブラマニアン、ヒース＝ブラウン、イヴァイッチの既存手法では得られない。
• この結果は、Z関数の高次相関における正負寄与の混沌としたバランスを支配する、深いつながりのない力学的法則を明らかにする。