[論文レビュー] Jacobi fields in nonholonomic mechanics

Alexandre Anahory Simoes, Juan Carlos Marrero+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2020

Advanced Differential Geometry Research参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非可積分制約を伴う非ホロノミック力学系におけるジャコビ場の厳密な幾何的定義を、非可積分測地線の無限小変種を用いて提示する。非可積分ジャコビ方程式の2通りの同等な定式化を確立する。1つは系の完全上昇を用いたもので、もう1つは非可積分接続の曲率と捩れを用いたものである。主な貢献は、非可積分系におけるジャコビ場の体系的かつ一貫した定式化の構築であり、リーマン幾何学的概念を非可積分制約へと拡張した点にある。

ABSTRACT

In this paper, we define Jacobi fields for nonholonomic mechanics using a similar characterization than in Riemannian geometry. We give explicit conditions to find Jacobi fields and finally we find the nonholonomic Jacobi equations in two equivalent ways: the first one, using an appropriate complete lift of the nonholonomic system and, in the second one, using the curvature and torsion of the associated nonholonomic connection.

研究の動機と目的

• 非可積分制約を伴う力学系におけるジャコビ場の理論—リーマン幾何学の中心的役割を果たす概念—を非可積分力学系へと拡張すること。
• 非可積分測地線の無限小変種として定義される非可積分ジャコビ場を、制約分布に接するベクトル場とは異なるものとして明確にすること。
• 非可積分ジャコビ方程式を2通りの同等な方法で導出すること：系の完全上昇を用いる方法と、非可積分接続の曲率と捩れを用いる方法。
• 指数写像を用いた非可積分測地線の共役点および最小化性の研究の基盤を築くこと。
• 将来の研究の道筋を拓くこと：対称な非可積分系の簡約化および部分リーマン幾何学への拡張。

提案手法

• 非可積分測地線の1パラメータ族から生じる、非可積分軌道に沿ったベクトル場として非可積分ジャコビ場を定義する。
• 力学系の運動的非可積分構造の完全上昇を用いて、接バンドル上の上昇した力学系によりジャコビ場を特徴付ける。
• 非可積分接続を用いてジャコビ方程式を導出し、その曲率テンソルと捩れテンソルを組み込む。
• 制約分布およびその直交補空間への直交射影を用いて、非可積分共変微分を表現する。
• 接バンドルにおける標準的自己同型および垂直上昇を用いて、上昇系と元の力学系との関係を結ぶ。
• 局所座標計算を通じて、完全上昇による定式化と曲率に基づく定式化の等価性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可積分的かつ非変分的性質を持つ系において、ジャコビ場をどのように厳密に定義できるか？
• RQ2 非可積分ジャコビ方程式の構造は何か？ また、幾何学的原則からどのように導出できるか？
• RQ3 非可積分ジャコビ方程式を非可積分接続の曲率と捩れで表現できるか？
• RQ4 非可積分系の完全上昇は、ジャコビ場の力学とどのように関係するか？
• RQ5 この定式化は、非可積分測地線の共役点および最小化性にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では、非可積分力学におけるジャコビ場を、制約分布に接するベクトル場とは異なる、非可積分測地線の無限小変種として幾何学的に定義した。
• 非可積分ジャコビ方程式は、完全上昇を用いた定式化と、非可積分接続の曲率と捩れを用いた定式化という2通りの同等な形で導出された。
• 非可積分接続が、上昇された計量に関するリーマン接続（レヴィ・チビタ接続）と一致することが示され、制約のない極限においてリーマン幾何学と整合的であることが保証された。
• 局所座標では、ジャコビ方程式はクリストッフェル記号、捩れテンソル、およびポテンシャルの射影勾配を含む2階微分方程式として表現された。
• この定式化により、指数写像を用いた非可積分測地線の共役点の特定および最小化性の解析が可能になった。
• 本結果は、対称な非可積分系への理論の拡張および部分リーマン幾何学への応用の基盤を提供した。