[論文レビュー] Jimm, a Fundamental Involution

A. Muhammed Uludağ, Hakan Ayral|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 43被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、PGL(2,Z)の外部自己同型から誘導される実直線上の基本的反転 'jimm' を導入する。この反転は、有理数において不連続に作用するが、実二次無理数を保存し、ガロア作用と可換である。この反転は、ガウスの連分数写像を無限不変測度を持つ間歇的力学系に共軛化し、メイヤーの転送作用素およびルイスの関数方程式と関連づける。また、ベアッティ分割における双対性と、ほとんど everywhere で微分が消える性質を示す。

ABSTRACT

We study the involution of the real line induced by the outer automorphism of the extended modular group PGL(2,Z). This `modular' involution is discontinuous at rationals but satisfies a surprising collection of functional equations. It preserves the set of real quadratic irrationalities mapping them in a highly non-obvious way to each other. It commutes with the Galois action on real quadratic irrationals. More generally, it preserves set-wise the orbits of the modular group, thereby inducing an involution of the moduli space of real rank-two lattices. It induces a duality of Beatty partitions of the set of positive integers. This involution conjugates (though not topologically) the Gauss' continued fraction map to an intermittent dynamical system on the unit interval with an infinite invariant measure. The transfer operator (resp. the functional equation) naturally associated to this dynamical system is closely related to the Mayer transfer operator (resp. the Lewis' functional equation). We give a description of this involution as the boundary action of a certain automorphism of the infinite trivalent tree. We prove that its derivative exists and vanishes almost everywhere. It is conjectured that algebraic numbers of degree at least three are mapped to transcendental numbers under this involution.

研究の動機と目的

• PGL(2,Z)の外部自己同型から生じる実直線上の特異な反転の力学的および算術的性質を調査すること。
• この反転が連分数展開、特に二次無理数および有理数に対してどのように作用するかを理解すること。
• ガウス写像や無限不変測度を持つ間歇的写像といった既知の力学系との関連を確立すること。
• 実ランク2格子のモジュライ空間における役割および無限3価木の境界への作用を調査すること。
• 代数的数の次数が ≥3 である場合、それらが 'jimm' によって超越数に写されるという予想への影響を検討すること。

提案手法

• 連分数展開に対する変換により反転を定義する: nᵢ ≥ 2 のとき [n₀,n₁,n₂,…] ↦ [1_{n₀−1},2,1_{n₁−2},2,1_{n₂−2},…] であり、負またはゼロのインデックスに対しては正規化規則を適用する。
• ℝ̂ = ℝ ∪ {∞} 全体にわたる写像に拡張され、有理数およびノーブル数に対しては2つの値をとるが、上半連続関数を得るために選択がなされる。
• 反転は無限3価木上の自己同型の境界作用として実現され、幾何的群論と結びつく。
• 関数方程式および転送作用素が導出され、メイヤーの転送作用素およびルイスの関数方程式と深い関係があることが示される。
• 反転はPGL(2,Z)-軌道を保存し、正の整数のベアッティ分割に双対性を誘導する。
• 反転の微分が存在し、ほとんど everywhere で消えることが証明されるが、有理数およびノーブル数において不連続である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反転 'jimm' は、実数の連分数展開、特に二次無理数および有理数に対してどのように作用するか？
• RQ2 反転 'jimm' とガウス連分数写像との間の力学的関係は何か？また、これは間歇的系に共軛化可能か？
• RQ3 'jimm' は実二次無理数上のガロア作用と可換か？また、格子のモジュライ空間におけるPGL(2,Z)-軌道をどのように保存するか？
• RQ4 'jimm' は無限3価木の境界への作用としてどのように幾何的に実現されるか？
• RQ5 代数的数の次数が3以上である場合、'jimm' によって超越数に写されるという数論的予想は存在するか？

主な発見

• 反転 'jimm' は、明らかでないが極めて構造的な方法で、実二次無理数を他の実二次無理数に写し、その算術的性質を保存する。
• これは、実二次無理数上のガロア作用と可換であり、深い算術的不変性を示す。
• 反転は、[0,1] 上の無限不変測度を持つ間歇的力学系に、ガウス連分数写像を共軛化する。
• この系に付随する転送作用素は、メイヤーの転送作用素と密接に関係しており、関数方程式はルイスの方程式と一致する。
• 反転の微分は存在し、ほとんど everywhere で消えるが、有理数およびノーブル数において不連続である。
• 代数的数の次数が3以上である場合、'jimm' によって超越数に写されるという予想が提示される。