[論文レビュー] Johnson's homomorphisms and the Arakelov-Green function

Nariya Kawazumi|ArXiv.org|Jan 28, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、リーマン曲面のモジュライ空間上に実数値関数 $ a_g $ を導入することで、ジョンソンのホモモーフィズムとアラケロフ＝グリーン関数の間の明確な関係を確立する。この関数の2次変動は、アラケロフ＝グリーン関数から得られるチャーン形式 $ e^A $ とジョンソンの平坦接続から得られる $ e^J $ を結びつける。主な結果は、$ e^A - e^J = \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g $ という恒等式であり、幾何的および算術的不変量が $ \mathbb{M}_g $ 上で統一される。

ABSTRACT

Let $π: {\mathbb C}_g o {\mathbb M}_g$ be the universal family of compact Riemann surfaces of genus $g \geq 1$. We introduce a real-valued function on the moduli space ${\mathbb M}_g$ and compute the first and the second variations of the function. As a consequence we relate the Chern form of the relative tangent bundle $T_{{\mathbb C}_g/{\mathbb M}_g}$ induced by the Arakelov-Green function with differential forms on ${\mathbb C}_g$ induced by a flat connection whose holonomy gives Johnson's homomorphisms on the mapping class group.

研究の動機と目的

• アラケロフ＝グリーン関数によって誘導される相対接ベクトル束のチャーン形式を、ジョンソンのホモモーフィズムから生じる微分形式と関連付けること。
• モジュライ空間 $ \mathbb{M}_g $ 上に定義された実数値関数 $ a_g $ を定義し、二つの自然なチャーン形式の差を符号化すること。
• 関数 $ a_g $ の一次および二次変動を計算し、$ e^A $ と $ e^J $ 間の明確な微分幾何的恒等式を確立すること。
• ファイバー積分 $ e^F_1 $ と、最初のモリタ＝マウムフォードクラス $ e_1 $ を表す標準形式 $ e^J_1 $ 間の関係を明確化すること。

提案手法

• 各リーマン曲面 $ C $ 上で、$ \widehat{\Phi} $ を体積形式 $ B $ のグリーン作用素とする関数 $ a_g(C) = -\sum_{i,j=1}^g \int_C \psi_i \wedge \overline{\psi_j} \widehat{\Phi}(\overline{\psi_i} \wedge \psi_j) $ を導入する。
• 正規直交基底 $ \{\psi_i\} $ を用いて、$ B = \frac{\sqrt{-1}}{2g} \sum_{i=1}^g \psi_i \wedge \overline{\psi_i} $ を定義し、基底の選択に依存しない標準的な体積形式が得られる。
• $ e^A = \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}} \partial\overline{\partial} \log G|_{\text{diagonal}} $ を定義し、これはアラケロフ＝グリーン関数 $ G $ を通じて相対接ベクトル束のチャーン類を表す。
• $ \mathbb{M}_{g,1} $ 上の平坦接続の曲率形式として $ e^J $ を構成し、そのホロノミーがジョンソンのホモモーフィズムを与える。$ e^J $ は各ファイバー上で $ (2-2g)B $ に制限される。
• $ a_g $ の2次変動を計算し、$ e^F_1 - e^J_1 $ に関連付ける。ここで $ e^F_1 = \int_{\text{fiber}} (e^J)^2 $ である。
• 曲率とホッジ理論的恒等式の明示的計算を通じて、恒等式 $ \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g = \frac{1}{(2g-2)^2}(e^F_1 - e^J_1) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョンソンのホモモーフィズムは、モジュライ空間 $ \mathbb{M}_g $ 上のアラケロフ＝グリーン関数とどのように幾何的に関連付けることができるか？
• RQ2 アラケロフ＝グリーン関数から得られるチャーン形式 $ e^A $ と、ジョンソンのホモモーフィズムに関連する平坦接続から得られる形式 $ e^J $ 間の明確な微分幾何的関係は何か？
• RQ3 $ e^A - e^J $ は、$ \mathbb{M}_g $ 上の実数値関数の $ \partial\overline{\partial} $-正確形式として表現可能か？
• RQ4 ファイバー積分形式 $ e^F_1 $ と $ e_1 $ を表す標準形式 $ e^J_1 $ はどのように比較できるか？その差は何か？
• RQ5 $ e^F_1 - e^J_1 $ はコhomologically自明か？もし自明であれば、$ \partial\overline{\partial} $-正確形式としてどのように表現されるか？

主な発見

• 関数 $ a_g(C) = -\sum_{i,j=1}^g \int_C \psi_i \wedge \overline{\psi_j} \widehat{\Phi}(\overline{\psi_i} \wedge \psi_j) $ は、$ g \geq 2 $ に対して $ \mathbb{M}_g $ 上でwell-definedかつ正の実数値関数であり、正規直交基底の選択に依存しない。
• 恒等式 $ e^A - e^J = \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g $ が成立し、アラケロフ形式とジョンソン形式の差が $ a_g $ を通じて $ \partial\overline{\partial} $-正確であることが示される。
• ファイバー積分形式 $ e^F_1 = \int_{\text{fiber}} (e^J)^2 $ は最初のモリタ＝マウムフォードクラス $ e_1 $ を表し、$ \frac{-2\sqrt{-1}}{2g(2g+1)} \partial\overline{\partial}a_g = \frac{1}{(2g-2)^2}(e^F_1 - e^J_1) $ を満たす。
• $ e^F_1 - e^J_1 $ はコhomologically自明だが、微分形式としては非自明であり、$ e_1 $ の二つの自然な代表元間の微妙な幾何的差を示している。
• $ \partial\overline{\partial}a_g $ の計算は、グリーン作用素 $ \widehat{\Phi} $、調和射影 $ \mathcal{H} $、曲率項を含むホッジ理論的恒等式を通じて行われる。
• 最終的な恒等式により、$ e^A - e^J $ と $ \frac{1}{(2g-2)^2}(e^F_1 - e^J_1) $ が等しいことが確認され、アラケロフとジョンソンの両アプローチが最初のモリタ＝マウムフォードクラスにおいて統一される。