[論文レビュー] Joint measurability through Naimark's theorem

Roberto Beneduci|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、自己随伴作用素のスムージングである2つの正作用素値測定（POVM）の同時測定可能性を特徴付けるために、ナイマークの拡張定理を用いる。2つのPOVMが同時に測定可能であるための必要十分条件は、元の作用素が拡張されたヒルベルト空間内に可換な自己随伴拡張をもつことであると示し、不正確な位置と運動量の観測量を代表例として含む一般枠組みを提供する。

ABSTRACT

We use Naimark's dilation theorem in order to characterize the joint measurability of two POVMs. Then, we analyze the joint measurability of two commutative POVMs $F_1$ and $F_2$ which are the smearing of two self-adjoint operators $A_1$ and $A_2$ respectively. We prove that the compatibility of $F_1$ and $F_2$ is connected to the existence of two compatible self-adjoint dilations $A_1^+$ and $A_2^+$ of $A_1$ and $A_2$ respectively. As a corollary we prove that each couple of self-adjoint operators can be dilated to a couple of compatible self-adjoint operators. Next, we analyze the joint measurability of the unsharp position and momentum observables and show that it provides a master example of the scheme we propose. Finally, we give a sufficient condition for the compatibility of two effects.

研究の動機と目的

• 自己随伴作用素のスムージングである2つのPOVMの同時測定可能性に関する一般基準を確立すること。
• 測定の操作的枠組みを拡張し、同時測定可能性が拡大されたヒルベルト空間内での整合性のある拡張の存在に結びつくことを示すこと。
• 任意の2つの自己随伴作用素が、拡張された空間内での可換な自己随伴作用素の対に拡張可能であることを示すこと。
• 不正確な位置と運動量の観測量を用いた主要な例を提示し、それらの同時測定可能性が提案された枠組みに適合することを示すこと。
• ナイマーク拡張と射影の可換性を用いて、2つの量子効果の整合性の十分条件を導出すること。

提案手法

• POVMを拡張されたヒルベルト空間上の射影として表現するために、ナイマークの拡張定理を適用する。
• Fellerのマルコフ核を用いて、可換なPOVMを自己随伴作用素のスムージングとして特徴付ける。
• 2つのPOVMの同時測定可能性と、それらのナイマーク拡張が同時に測定可能であるという条件の同値性を確立する。
• 効果（二重ヒルベルト空間上の射影）の特定の拡張構成を導入し、整合性を分析する。
• 拡張空間上の作用素の行列表現を用いて、拡張された射影間の可換性条件を導出する。
• ブロック行列の構造を用いて、2つの効果が可換であるための必要十分条件が、それらのナイマーク拡張が可換な射影であることに他ならないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己随伴作用素のスムージングである2つのPOVMが、どのような条件下で同時に測定可能か？
• RQ2 任意の2つの自己随伴作用素が、拡張されたヒルベルト空間内での可換な自己随伴作用素の対に拡張可能か？
• RQ3 不正確な位置と運動量の観測量の同時測定可能性は、ナイマーク拡張の一般枠組みにどのように適合するか？
• RQ4 2つの量子効果の整合性を保証する十分条件は、それらのナイマーク拡張によってどのように得られるか？
• RQ5 ナイマークの定理に基づく同時測定可能性の基準は、2つのPOVMを超えて、より一般の状況にどの程度一般化可能か？

主な発見

• 自己随伴作用素のスムージングである2つのPOVMは、かつてその作用素が拡張されたヒルベルト空間内で可換な自己随伴拡張をもつとき、かつそのときに限り、同時に測定可能である。
• 任意の2つの自己随伴作用素は、より大きなヒルベルト空間内で可換な自己随伴作用素の対に拡張可能であり、これは一般の存在結果を示している。
• 不正確な位置と運動量の観測量は、鋭い位置と運動量作用素の可換な拡張の存在に起因する同時測定可能性を示す主要な例である。
• 2つの効果が可換であるための必要十分条件は、それらの二重ヒルベルト空間内でのナイマーク拡張が可換な射影であることである。
• 効果の整合性の十分条件は、演算子方程式 $[A_1, A_2] + [B_1, B_2] = 0$ および $\{A_1, B_2\} - \{B_1, A_2\} = B_2 - B_1$ によって与えられ、ここで $B_i = \sqrt{A_i(\mathbf{1} - A_i)}$ である。
• 2つを超えるPOVMの同時測定可能性は、同じ方法でナイマークの定理を用いて特徴付けられないことから、この手法が2つのPOVMに限られるという限界が浮き彫りになる。