[論文レビュー] Jump formulas in Hamiltonian Geometry

Paul-Émile Paradan|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック多様体上のハミルトニアントーラス作用におけるDuistermaat-Heckman測度およびリーマン・ロッホ指標のジャンプ公式を確立する。正則値の隣接するチャネル間でのこれらの不変量の差について、縮小空間および正規バンドルの曲率と特徴類を用いて明示的な多項式表現を導出しており、Guillemin-Lerman-Sternberg よりも前記の結果を一般化している。

ABSTRACT

This paper is concerned with the Hamiltonian actions of a torus on a symplectic manifold. We are interested here in two global invariants: the Duistermaat-Heckman measure DH(M), and the Riemann-Roch chatacters RR(M,L^k),k>0, which are defined when the symplectic manifold is prequantized by a Kostant-Souriau line bundle L. We can associate to each connected component C of regular values of the moment map the following local invariants: the polynomial DH_c which coincides with DH(M) on C, and the periodic polynomial m_c which computes the multiplicity of RR(M,L^k), k>0, in the cone generated by C. The purpose of this paper is to compute the differences DH_c - DH_c' and m_c - m_c' when C and C' are two adjacent connected components of regular values of the moment map.

研究の動機と目的

• コンパクトなシンプレクティック多様体上のハミルトニアントーラス作用のグローバル不変量、特にDuistermaat-Heckman測度およびリーマン・ロッホ指標を理解すること。
• モーメント写像の正則値の隣接する連結成分を越える際、これらの不変量がどのように変化するかを分析すること。
• 縮小空間の曲率および特徴類を組み込むことにより、シンプレクティック幾何におけるジャンプ公式の先行研究を一般化すること。
• オーロラバンドルおよび局所化技法を用いて、チャネル間での群表現の重複度の差に対して明確な公式を提示すること。

提案手法

• 論文は、トーラス T を TΔ × T/TΔ に分解し、Δ に直交する1次元部分トーラス TΔ を用いる。
• MΔξ = (Φ⁻¹(ξ) ∩ M^TΔ)/(T/TΔ) を縮小空間と定義し、誘導されたシンプレクティック形式 ΩΔξ および曲率形式 ωΔξ を備える。
• Duistermaat-Heckman測度のジャンプは、MΔξ 上の積分を用いて表され、exp(ΩΔξ + ⟨a′, ωΔξ⟩) と、正規バンドル N_Z の特徴類 αk から構成される多項式 P(a′′) を含む。
• 重複度のジャンプ m_c+(μ,k) − m_c−(μ,k) は、MΔξ 上のオーロラベクトルバンドル S^k_{Z,μ} のリーマン・ロッホ指標に等しいことが示された。
• 構成は、β ∈ tΔ の無限小作用および正規バンドル上の作用のパフリアンに依存し、固定点群の位数 |S_Z|⁻¹ を含む。
• この方法は、局所化技法およびオーロラK理論を用いて、重複度のジャンプを縮小空間上のバンドルのリーマン・ロッホ指標に関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則値の隣接するチャネルを越える際、Duistermaat-Heckman測度はどのように変化するか？
• RQ2 モーメント写像像における隣接するチャネル間でのT表現の重複度の差に対する明確な公式は何か？
• RQ3 縮小空間および正規バンドルの曲率と特徴類は、不変量のジャンプにどのように寄与するか？
• RQ4 無限小作用 β および固定点構造がジャンプを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 重複度のジャンプは、縮小空間上に自然に定義されるバンドルのリーマン・ロッホ指標として解釈可能か？

主な発見

• 隣接するチャネル間でのDuistermaat-Heckman測度のジャンプは、多項式積分として与えられる：(DH_c+ − DH_c−)(a+ξ) = |S_Z|⁻¹ / det^{1/2}_Z(−Lβ/(2π)) × ∫_{MΔξ} e^{ΩΔξ + ⟨a′,ωΔξ⟩} P(a′′) であり、P は特徴類 αk から構成される a′′ に関する多項式である。
• 重複度のジャンプ m_c+(μ,k) − m_c−(μ,k) は、縮小空間上のオーロラベクトルバンドル S^k_{Z,μ} のリーマン・ロッホ指標 RR(MΔξ, S^k_{Z,μ}) に等しい。
• 重複度は −s_Z⁻ < ⟨μ,β⟩/(2π) − k rΔ < s_Z⁺ のときチャネル間で等しくなるが、この境界は鋭い：境界で等式が成り立たない μ,k が存在する。
• 整数 s_Z⁺ + s_Z⁻ は、Z の M におけるcodim の半分より大きい。ジャンプ公式はこの意味で最適である。
• M = ℂ^d で線形ハミルトニアン作用が働く場合、ベクトル分割関数のジャンプは畳み込みとして表される：P_c+(μ) − P_c−(μ) = ∑_{γ∈Λ*∩Δ} D(μ−γ) P_c′(γ) であり、D(μ) は N_{R′}(μ+δ⁻) および N_{−R′}(μ+δ⁺) を用いて定義される。
• 本結果は、Guillemin-Lerman-Sternberg や Brion-Procesi よりも前記の結果を一般化しており、SU(n) の共軛軌道および複素ベクトル空間への応用により、分割関数のジャンプに対する明確な公式が得られている。