[論文レビュー] Jump Type Stochastic Differential Equations with Non-Lipschitz Coefficients: Non Confluence, Feller and Strong Feller Properties, and Exponential Ergodicity

Fubao Xi, Chao Zhu|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非線形かつ非リプシッツ係数を有する多次元ジャンプ型SDEにおいて、経路的一意性、非凝集性、フレラーおよび強フレラー性、指数的混合性のための十分条件を、リプシッツでない条件として確立している。カップリング法およびビハリ型不等式を用いて、局所連続性の条件下で爆発の不存在、経路的一意性、指数的混合性を証明し、古典的なリプシッツ仮定を超えた結果を拡張している。

ABSTRACT

This paper considers multidimensional jump type stochastic differential equations with super linear growth and non-Lipschitz coefficients. After establishing a sufficient condition for nonexplosion, this paper presents sufficient non-Lipschitz conditions for pathwise uniqueness. The non confluence property for solutions is investigated. Feller and strong Feller properties under non-Lipschitz conditions are investigated via the coupling method. Sufficient conditions for irreducibility and exponential ergodicity are derived. As applications, this paper also studies multidimensional stochastic differential equations driven by Lévy processes and presents a Feynman-Kac formula for Lévy type operators.

研究の動機と目的

• 多次元ジャンプ型SDEにおける古典的な線形成長およびグローバルリプシッツ条件を緩和すること。
• 解の経路的一意性および非凝集性を保証する局所的非リプシッツ条件を十分条件として確立すること。
• カップリング技法を用いて、局所的非リプシッツ仮定の下でのフレラーおよび強フレラー性を検討すること。
• 非リプシッツ係数を有するジャンプSDEにおける再帰性および指数的混合性の十分条件を導出すること。
• 一般のリーヴィ過程によって駆動されるリーヴィ型作用素へのフェインマン＝カックの公式を拡張すること。

提案手法

• リプシッツ型関数を用いたバナッハ空間上の関数を用いて、非線形成長係数を有するSDEにおける爆発の不存在の十分条件を導出する。
• 滑らかな近似を用いたヤマダ＝ワタナベ型の議論を適用し、仮定2.3の下で解間のL1距離を制御する。
• ビハリ型不等式を用いてL1距離の消滅を示し、局所的非リプシッツ条件の下で経路的一意性を示す。
• カップリング法を用いて、局所的非リプシッツ条件の下でのフレラーおよび強フレラー性を確立する。
• 局所的非リプシッツ仮定の下で、再帰性およびフォスター＝リャプノフ条件を用いて指数的混合性を導出する。
• 可測選択および分位数変換を用いてリーヴィ測度の可測パラメータ化を構築し、リーヴィ型生成作用素に対するフェインマン＝カックの公式を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形成長係数を有する多次元ジャンプ型SDEにおいて、どのような局所的非リプシッツ条件下で経路的一意性が保証されるか？
• RQ2 カップリング法を用いて、局所的非リプシッツ条件下でフレラーおよび強フレラー性をどのように確立できるか？
• RQ3 非リプシッツ係数を有するジャンプSDEにおいて、爆発の不存在および指数的混合性を保証する条件は何か？
• RQ4 一般のリーヴィ過程によって駆動されるリーヴィ型作用素に対して、フェインマン＝カックの公式を導出できるか？
• RQ5 局所的非リプシッツ条件下で、ジャンプSDEの解に対する非凝集性の性質はどのように振る舞うか？

主な発見

• 非線形成長係数を有するSDEにおける爆発の不存在の十分条件が確立され、線形成長仮定を一般化している。
• 経路的一意性を保証する2つの局所的非リプシッツ条件（仮定2.3および2.5）が提示され、ビハリ型不等式および直接的カップリング議論を用いて導出された。
• 同じ局所的非リプシッツ条件下で非凝集性が検証され、異なる解が合流しないことが保証されている。
• カップリング技法を用いて、局所的非リプシッツ条件下でのフレラーおよび強フレラー性が証明され、古典的結果が拡張されている。
• 再帰性およびリャプノフ型条件の下で指数的混合性が確立され、フォスター＝リャプノフのドリフト条件を用いて収束速度が導出された。
• 可測選択および分位数変換を用いてリーヴィ測度の可測パラメータ化を構築し、リーヴィ型生成作用素に対するフェインマン＝カックの公式が導出された。