[論文レビュー] Kähler-Ricci flow with unbounded curvature

Shaochuang Huang, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、曲率が $ a/t $ に対して有界であるような非コンパクト多様体上のケーラー・リッチフローにおいて、ケーラー条件および非負の正則バイセクショナル曲率が保存されることを確立する。初期計量がケーラーで、曲率が $ 1/t $ のように減少するならば、解はケーラーのままであり、初期曲率が非負ならば、その性質も維持される。これらの結果は、非負の正則バイセクショナル曲率と最大体積成長を示す完備な非コンパクトケーラー多様体が $ \mathbb{C}^n $ に正則同型であることを示し、ヤウの均一化予想の特殊ケースを確認する。

ABSTRACT

Let $g(t)$ be a complete solution to the Ricci flow on a noncompact manifold such that $g(0)$ is Kahler. We prove that if $|Rm(g(t))|_{g(t)}\le a/t$ for some $a>0$, then $g(t)$ is Kahler for $t>0$. We prove that there is a constant $ a(n)>0$ depending only on $n$ such that the following is true: Suppose $g(t)$ is a complete solution to the Kahler-Ricci flow on a noncompact $n$-dimensional complex manifold such that $g(0)$ has nonnegative holomorphic bisectional curvature and such that $|Rm(g(t))|_{g(t)}\le a(n)/t$, then $g(t)$ has nonnegative holomorphic bisectional curvature for $t>0$. These generalize the results by W. S. Shi. As corollaries, we prove that (i) any complete noncompact Kahler manifold with nonnegative complex sectional curvature with maximum volume growth is biholomorphic to $ C^n$; and (ii) there is $ε(n)>0$ depending only on $n$ such that if $(M^n,g_0)$ is a complete noncompact Kahler manifold of complex dimension $n$ with nonnegative holomorphic bisectional curvature and maximum volume growth and if $(1+ε(n))^{-1}h\le g_0\le (1+ε(n))h$ for some Riemannian metric $h$ with bounded curvature, then $M$ is biholomorphic to $C^n$.

研究の動機と目的

• 曲率が $ a/t $ に対して有界である非コンパクト多様体上のケーラー・リッチフローにおいて、ケーラー条件が保存されることの証明。
• 同じ $ 1/t $ の曲率減少条件下で、非負の正則バイセクショナル曲率が保存されることの証明。
• 非負の正則バイセクショナル曲率と最大体積成長を示す完備な非コンパクトケーラー多様体が $ \mathbb{C}^n $ に正則同型であることを確立すること。
• 有界曲率の設定からの結果を、$ 1/t $ 減少推定を用いて無限大曲率へと拡張すること。

提案手法

• 曲率減少を制御できる短時間解の構成のため、リッチ＝ドゥルックフローの変種である $ h $-フローの使用。
• 曲率の時間発展を制御するための $ L^2 $-推定および重み付きソボレフ不等式の応用。
• 断片的領域における近似解の構成と、対角列による収束の証明。
• 初期計量と有界曲率を持つ背景計量 $ h $ の間の一様同値性を用いて幾何的制御を実施。
• 接続係数の差から生じるベクトル場 $ W $ の推定を行い、計量の時間発展を制御。
• 体積比較と最大体積成長の仮定を用いて、フロー下での幾何的制御の維持。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率が非有界であるが $ 1/t $ のように減少する非コンパクト多様体上のケーラー・リッチフローにおいて、ケーラー条件は保存されるか？
• RQ2 同じ $ 1/t $ の曲率減少条件下で、非負の正則バイセクショナル曲率は保存されるか？
• RQ3 ヤウの均一化予想は、最大体積成長と非負の正則バイセクショナル曲率を示す完備な非コンパクトケーラー多様体に対して検証可能か？
• RQ4 初期計量 $ g_0 $ が有界曲率計量 $ h $ に対して $ (1+\epsilon(n)) $-準等長であるような最良の $ \epsilon(n) > 0 $ は何か？

主な発見

• 任意の $ a > 0 $ に対して、$ |\text{Rm}(g(t))|_{g(t)} \leq a/t $ が成り立つならば、任意の $ t > 0 $ でケーラー条件が保存される。
• $ a(n) > 0 $ が存在し、初期計量の正則バイセクショナル曲率が非負で、曲率が $ a(n)/t $ のように減少するならば、任意の $ t > 0 $ で曲率は非負のままである。
• 任意の完備な非コンパクトケーラー多様体が非負の複素セクショナル曲率と最大体積成長を示すならば、それは $ \mathbb{C}^n $ に正則同型である。
• 初期計量 $ g_0 $ が有界曲率計量 $ h $ に対して $ (1+\epsilon(n)) $-準等長であり、$ g_0 $ が非負の正則バイセクショナル曲率と最大体積成長を示すならば、$ M $ は $ \mathbb{C}^n $ に正則同型である。
• $ 1/t $ の曲率減少条件下で、ケーラー・リッチフローの解は時間的に全域に定義され、完備かつケーラーのままである。
• 曲率推定 $ |\text{Rm}(g(t))|_{g(t)} \leq \alpha / t $ は保存され、ここで $ \alpha = \alpha(n) $ は次元 $ n $ のみに依存する。