[論文レビュー] Künneth projectors for open varieties

Spencer Bloch, Hélène Esnault|ArXiv.org|Feb 21, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、滑らかな準射影的多様体 $ U $ の第一コホロロジー群 $ H^1(U) $ に対して代数的 Künneth射影子を構成する。これは、無限遠で正規交叉を持つ滑らかな射影的完成を持つものと仮定する。相対モチビックコホロロジーを用いて、開対応のトレースにおける $ \ell $-独立性と整数性を証明し、良い位置関係の条件下で、Lefschetzトレース公式を開多様体へ一般化する。

ABSTRACT

We consider correspondences on smooth quasiprojective varieties $U$. An algebraic cycle inducing the Künneth projector onto $H^1(U)$ is constructed. Assuming normal crossings at infinity, the existence of relative motivic cohomology is shown to imply the independence of $\ell$ for traces of open correspondences.

研究の動機と目的

• 滑らかな準射影的多様体 $ U $ に対して、その $ H^1(U) $ に Künneth射影子を誘導する代数的サイクルを構成すること。
• 無限遠で正規交叉を持つような多様体に対して、相対モチビックコホロロジーの存在を確立すること。
• 代数的対応のトレースが $ U \times U $ 上で整数的であり、$ \ell $-に依存しないことを証明し、トレース公式の技法を開多様体へ一般化すること。
• 無限遠の除数のストラタに沿ったGysin写像とMayer-Vietorisスペクトル系列を用いて、Lefschetzトレース公式を開多様体へ拡張すること。

提案手法

• $ X $ を $ U $ の滑らかな射影的完成とし、$ X \times U $ 上のサイクルを構成することで、$ H^1(U) $ 上のKünneth射影子を誘導するが、$ (X\setminus U) \times U $ 上では完全には自明化されない。
• 曲線 $ C \times J(C,\Delta) $ 上のPoincaréバンドルを用いて、$ H^1(C,\Delta) \otimes H^1(J(C,\Delta))(1) $ における第一チャーン類を実現し、これにより $ U $ のコホロロジーと関連付ける。
• 除数のストラタ $ D_I $ のコホロロジーと $ U $ のコホロロジーを関係付けるために、Mayer-Vietorisスペクトル系列 $ E_1^{a,b} = \bigoplus_{|I|=a} H^b(D_I) \Rightarrow H^{a+b}_c(U) $ を適用する。
• 対応 $ \Gamma $ のストラタへの制限として $ Z_I = \bar{\Gamma} \cdot (D_I \times X) $ を定義し、Gysin写像と制限写像を用いてトレースを計算する。
• スキーム的よい位置関係条件を課す：$ \bar{\Gamma}_j \cap (D_I \times X) \subset D_I \times D_I $ であり、これにより交差多重度が1となり、境界項のキャンセルが保証される。
• トレース公式 $ \operatorname{Tr}(\Gamma_*) = \sum_{r=0}^d (-1)^r \sum_{|I|=r} \deg(Z_I \cdot \Delta_I) $ を適用し、$ \Delta_I $ を $ D_I \times D_I $ 上の対角線と定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな準射影的多様体 $ U $ に対して、$ H^1(U) $ にKünneth射影子を誘導する代数的サイクルを構成できるか？
• RQ2 開対応のトレースが整数的であり、$ \ell $-に依存しない条件は何か？
• RQ3 正規交叉を持つ無限遠を持つ開多様体へLefschetzトレース公式をどのように一般化できるか？
• RQ4 境界項の寄与がキャンセルされ、トレースが $ U $ 内の固定点にのみ依存する条件は何か？
• RQ5 相対モチビックコホロロジーは、トレースの $ \ell $-独立性を証明する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $ X \times U $ 上の代数的サイクルが $ H^1(U) $ にKünneth射影子を誘導するが、$ (X\setminus U) \times U $ 上では完全には自明化されず、部分的にしか自明化されない。
• コホロロジー $ H^*_{c}(U) $ 上の対応 $ \Gamma $ のトレースは、$ \sum_{r=0}^d (-1)^r \sum_{|I|=r} \deg(Z_I \cdot \Delta_I) $ で与えられ、ここで $ Z_I = \bar{\Gamma} \cdot (D_I \times X) $ である。
• スキーム的よい位置関係条件と横断的条件の下で、トレース $ \operatorname{Tr}(\Gamma_*) $ は $ \deg(\Delta_U \cdot \Gamma) $ に等しくなる。これは、$ U $ 内の固定点の数に一致する。
• この公式は、$ \Gamma $ が特徴値 $ p $ のFrobeniusのグラフである場合にも成り立ち、新しいモチビック手法により既知の結果が再現される。
• 相対モチビックコホロロジーの仮定の下で、境界項のキャンセルとトレース公式を用いることで、開対応のトレースの $ \ell $-独立性が確立される。
• 例として、$ \Gamma_{pq} \subset \mathbb{A}^1 \times \mathbb{A}^1 $ で $ p \neq q $ である場合、トレースは $ p $ に等しくなるが、$ \deg(\Delta_U \cdot \Gamma) = \max(p,q) $ である。これは、公式におけるキャンセル機構を示している。