[論文レビュー] The BV Algebra on Hochschild Cohomology Induced by Infinity Inner Products

Thomas Tradler|ArXiv.org|Oct 10, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、対称的で不変かつ非退化な内積を備えた単位的かつ結合的代数および $A_\infty$-代数のホッフホールコホモロジーにバタリン＝ヴィルコビッチ（BV）代数構造を構成する。双対性を用いてチェーン上のコンネス $B$-作用素に対応する次数 $-1$ の作用素 $\Delta$ を定義し、$\Delta$ が BV 関係を満たすことを証明することで、ホッフホールコホモロジーにゲルステンハーバー括弧とカップ積と整合する BV 代数構造が与えられる。

ABSTRACT

We define a BV-structure on the Hochschild-cohomology of a unital, associative algebra A with a symmetric, invariant and non-degenerate inner product. The induced Gerstenhaber algebra is the one described in Gerstenhaber's original paper on Hochschild-cohomology. We also prove the corresponding theorem in the homotopy case, namely we define the BV-structure on the Hochschild-cohomology of a unital A-infinity-algebra with a symmetric and non-degenerate infinity-inner product.

研究の動機と目的

• 単位的かつ結合的な代数に、対称的で不変かつ非退化な内積が備わっている場合、そのホッフホールコホモロジーにバタリン＝ヴィルコビッチ（BV）代数構造を定義すること。
• 古典的内積をホモトピー代数に一般化する $\infty$-内積の概念を用いて、この構成を $A_\infty$-代数に拡張し、ホモトピー的結合的設定における BV 構造を拡張すること。
• 誘導された $\Delta$-作用素が BV 関係を満たすことを確立することにより、$\Delta^2 = 0$ およびゲルステンハーバー括弧が $\Delta$ が導来作用素から逸脱する度合として現れることを保証すること。
• この BV 構造とストリングトポロジーとの関係を明確にし、ポincare双対性空間においてホッフホールコホモロジーとループ空間ホモロジーの同型が成立する場合、両者の構造が整合することを予想すること。

提案手法

• チェーン上のコンネス $B$-作用素に対応する双対性を用いて、対称的かつ非退化な内積を介してホッフホールコチェーン上に $\Delta$-作用素を定義する。
• 内積を用いて、チェーン上のコンネス $B$-作用素をコチェーン上に移行させ、$\Delta$ がチェーン写像であり、コホモロジー上で $\Delta^2 = 0$ を満たすことを保証する。
• $A$ とその双対 $A^*$ 間の $A_\infty$-双モジュール写像として $\infty$-内積を構成し、古典的内積をホモトピー代数へ一般化する。
• ゲルステンハーバー括弧がコホモロジーにおいて $[\alpha,\beta] = \Delta(\alpha \smile \beta) - \Delta(\alpha) \smile \beta - (-1)^n \alpha \smile \Delta(\beta)$ を満たすことを示すことにより、BV 関係を証明する。
• ストリングトポロジーの技法、特にチャスとサリヴァンによるループ空間ホモロジーにおける BV 構造の証明を、ホッフホールコチェーンレベルに応用する。
• スターシェフのテンソルコボルト代数とコデリバーレーションの形式的記法を用いて、$A_\infty$-代数およびその双モジュールのホッフホールコチェーンを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位的かつ結合的な代数に、対称的で不変かつ非退化な内積が備わっている場合、そのホッフホールコホモロジーに自然に BV 代数構造を定義できるか？
• RQ2 古典的な BV 構造を、$\infty$-内積を用いて $A_\infty$-代数に一般化できるか？
• RQ3 チェーン上のコンネス $B$-作用素に対応する双対性によって定義された $\Delta$-作用素は、コホモロジーにおけるゲルステンハーバー括弧とカップ積と整合するか？
• RQ4 Poincaré双対性空間 $X$ に対して、同型 $H^\bullet(C^\bullet(X), C^\bullet(X)) \cong H_\bullet(LX)$ の下で、本稿で構成した BV 構造は、$H_\bullet(LX)$ 上のストリングトポロジー BV 代数と一致するか？

主な発見

• 内積を用いて定義された $\Delta$-作用素 $\langle \Delta f(a_1,\dots,a_{n-1}), a_n \rangle = \sum_{i=1}^n (-1)^{i(n-1)} \langle f(a_i,\dots,a_n,a_1,\dots,a_{i-1}), 1 \rangle$ はチェーン写像であり、ホッフホールコホモロジー上で $\Delta^2 = 0$ を満たす。
• コホモロジー上での誘導された作用が BV 関係 $[\alpha,\beta] = \Delta(\alpha \smile \beta) - \Delta(\alpha) \smile \beta - (-1)^n \alpha \smile \Delta(\beta)$ を満たすため、$H^\bullet(A,A)$ は BV 代数である。
• 対称的かつ非退化な $\infty$-内積を備えた $A_\infty$-代数に対しても、この構成は一般化され、$H^\bullet(A,A)$ に BV 構造が与えられる。
• $\Delta$-作用素は、内積を介してホッフホールチェーン上のコンネス $B$-作用素の双対として得られ、チェーンレベルとコチェーンレベルの BV 構造の間の自然な関係を確立する。
• 本稿は、Poincaré双対性空間 $X$ に対して、$C^\bullet(X)$ のホッフホールコホモロジーにおけるこの BV 構造が、$H_\bullet(LX)$ 上のストリングトポロジー BV 代数と一致すると予想する。