[論文レビュー] $k$-quasi planar graphs

Andrew Suk|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2011

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単純な $k$-準平面的グラフにおける辺の数の新しい上界を確立し、$n$ 頂点を持つこのようなグラフが高々 $(n\log^2 n)2^{\alpha^{c_k}(n)}$ 条の辺を持つことを示している。ここで $\alpha(n)$ は逆アッカーマン関数であり、$c_k$ は $k$ のみに依存する定数である。この結果は、一般化されたDavenport-Schinzel列と、$x$-単調曲線を用いたトポロジカルグラフにおける辺の交差の構造的解析を用いて、先行研究の上界を改善している。

ABSTRACT

A topological graph is \emph{$k$-quasi-planar} if it does not contain $k$ pairwise crossing edges. A topological graph is \emph{simple} if every pair of its edges intersect at most once (either at a vertex or at their intersection). In 1996, Pach, Shahrokhi, and Szegedy \cite{pach} showed that every $n$-vertex simple $k$-quasi-planar graph contains at most $O(n(\log n)^{2k-4})$ edges. This upper bound was recently improved (for large $k$) by Fox and Pach \cite{fox} to $n(\log n)^{O(\log k)}$. In this note, we show that all such graphs contain at most $(n\log^2n)2^{α^{c_k}(n)}$ edges, where $α(n)$ denotes the inverse Ackermann function and $c_k$ is a constant that depends only on $k$.

研究の動機と目的

• 単純な $k$-準平面的グラフにおける辺の数の既知の上界を改善すること。
• $x$-単調トポロジカルグラフに関する結果を、簡約性の条件を緩和した非単純グラフに拡張し、より良い上界を得ること。
• 一般化されたDavenport-Schinzel列を用いて、トポロジカルグラフにおける禁止される交差パターンを分析すること。
• 構造的グラフ分解と交差数の議論を用いて、辺の上界における $k$ 依存性を精緻化すること。

提案手法

• 禁止される交差パターンをモデル化するために、上り-下り-上り型の一般化されたDavenport-Schinzel列を用いる。
• Lemma 2.2 を用い、$l$-正則な列が上り-下り-上り$(l)$ の部分列を避ける場合の列長の上限を求める。
• 頂点集合の二分法に基づく分解を用い、交差数と次数和を用いて交差数を上界づけている。
• Dilworthの定理を応用し、辺の交差から導かれる非比較性グラフにおける大きな独立集合を特定する。
• 垂直線 $L$ との交差を基準に辺を順序付け、左端点と右端点の列 $S_1$ と $S_2$ を定義する。
• 背理法を用いて、$S_1$ と $S_2$ が上り-下り-上り$(k^3+2)$ 型の部分列を含んではならないことを示し、列長が有界であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な $k$-準平面的グラフが $n$ 頂点を持つ場合、最大で何本の辺を持つことができるか？
• RQ2 シーケンス理論的アプローチを用いて、$k$-準平面的グラフの辺の上界を多項対数的要因を超えて改善できるか？
• RQ3 $x$-単調トポロジカルグラフにおいて、簡約性の条件を緩和した場合、上界はどのように変化するか？
• RQ4 逆アッカーマン関数は、$k$-準平面的グラフにおける辺数の漸近的成長にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 単純な $k$-準平面的グラフが $n$ 頂点を持つ場合、辺の数は高々 $(n\log^2 n)2^{\alpha^{c_k}(n)}$ である。ここで $c_k$ は $k$ のみに依存する定数である。
• $x$-単調トポロジカルグラフ（単純とは限らない）の場合、辺の上界は絶対定数 $c$ を用いて $2^{ck^3}n\log n$ である。
• 証明は、垂直線と交差する辺の端点の列が、上り-下り-上り$(k^3+2)$ 型の部分列を含んではならないことを示しており、これが列長の上界を求める上で鍵となる。
• 特に大きな $k$ に対しては、Fox と Pach の先行結果を改善しており、逆アッカーマン関数を指数部に組み込むことで上界が改善されている。
• 組合せ的シーケンス理論を用いて、$k$-準平面的グラフにおける極値的挙動のより洗練された理解が得られたことを確認している。