[論文レビュー] $K$-theory and logarithmic Hodge-Witt sheaves of formal schemes in characteristic $p$

Matthew Morrow|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は特徴的 $p$ の下で、Geisser–Levine および Bloch–Kato–Gabber の定理のプロ版を確立し、正則な $\mathbb{F}_p$-代数のイデアルの冪を法とするモジュラス $p^r$ プロ $K$-群が、形式的スキーム上の対数的 Hodge–Witt シェーブに同型であることを示している。主な結果は、同型 $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s \simeq \{W_r\Omega_{A/I^s,\text{log}}^n\}_s$ であり、これは古典的 $K$-理論の同型を、トポロジカルな循環ホモロジーおよび de Rham–Witt 理論を用いて形式的スキームへと拡張するものである。

ABSTRACT

We describe the mod $p^r$ pro $K$-groups $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ of a regular local $\mathbb F_p$-algebra $A$ modulo powers of a suitable ideal $I$, in terms of logarithmic Hodge-Witt groups, by proving pro analogues of the theorems of Geisser-Levine and Bloch-Kato-Gabber. This is achieved by combining the pro Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem in topological cyclic homology with the development of the theory of de Rham-Witt complexes and logarithmic Hodge-Witt sheaves on formal schemes in characteristic $p$. Applications include the following: the infinitesimal part of the weak Lefschetz conjecture for Chow groups; a $p$-adic version of Kato-Saito's conjecture that their Zariski and Nisnevich higher dimensional class groups are isomorphic; continuity results in $K$-theory; and criteria, in terms of integral or torsion étale-motivic cycle classes, for algebraic cycles on formal schemes to admit infinitesimal deformations. Moreover, in the case $n=1$, we compare the étale cohomology of $W_rΩ^1_ ext{log}$ and the fppf cohomology of $\mathbfμ_{p^r}$ on a formal scheme, and thus present equivalent conditions for line bundles to deform in terms of their classes in either of these cohomologies.

研究の動機と目的

• 特徴的 $p$ における滑らかな代数的多様体に対してのみ成り立っていた古典的 $K$-理論同型を、正則な形式的スキームの設定へと拡張すること。
• 無限小の厚みの文脈において、Milnor $K$-理論、$K$-理論、および対数的 Hodge–Witt 群の間の同型のプロ版を確立すること。
• 特徴的 $p$ における $\mathbb{F}_p$-代数上の形式的スキームにおける de Rham–Witt コクレームおよび対数的 Hodge–Witt シェーブの理論を構築すること。
• 結果を $K$-理論の連続性、サイクル類の変形、弱 Lefschetz予想への応用に適用すること。
• 線形束の変形に関する基準を提供するため、$W_r\Omega^1_{\text{log}}$ のエタールコホモロジーと $\boldsymbol{\mu}_{p^r}$ の fppf コホモロジーを比較すること。

提案手法

• トポロジカルな循環ホモロジーにおけるプロ Hochschild–Kostant–Rosenberg 定理を用いて、$K$-理論と微分形式を関連付ける。
• $\mathbb{F}_p$-代数上の形式的スキームにおける de Rham–Witt コクレームおよび対数的 Hodge–Witt シェーブの理論を発展させる。
• Cartier 同型と正則な形式的スキームにおける de Rham–Witt コクレームの $p$-フィルトレーションを応用する。
• Milnor $K$-理論から対数的 Hodge–Witt シェーブへの形式的 dlog 写像を構成し、そのプロ性質を分析する。
• コherent双対性および Artin–Rees 性質を用いて、ザリスキおよびエタール位相におけるコホモロジーの消滅を制御する。
• $5$-補題およびホモトピー的カルテジアン四角形を用いて、$K$-理論および対数的 Hodge–Witt シェーブの連続コホモロジーを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的同型（$K$-理論、Milnor $K$-理論、Hodge–Witt 群の間）を特徴的 $p$ における形式的スキームへどのように拡張できるか？
• RQ2 正則な $\mathbb{F}_p$-代数 $A$ とイデアル $I$ に対して、$A/I^s$ を法とするプロ $K$-理論は何か？ そして、対数的 Hodge–Witt シェーブとどのように関係するか？
• RQ3 代数的サイクルが形式的スキーム上で無限小変形を許容する条件は何か？ そして、エタール・モチビックなサイクル類を用いてどのように検出できるか？
• RQ4 線形束上の形式的スキームにおいて、$W_r\Omega^1_{\text{log}}$ のエタールコホモロジーと $\boldsymbol{\mu}_{p^r}$ の fppf コホモロジーはどのように比較できるか？
• RQ5 $K$-理論が特徴的 $p$ において満たす連続性の性質は何か？ そして、クリスタリンコホモロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 正則的かつ $F$-有限な $\mathbb{F}_p$-代数 $A$ とイデアル $I$ に対して、$A/I$ が gnc かつ局所的であるとき、プロアーベル群 $\{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ は $\{W_r\Omega_{A/I^s,\text{log}}^n\}_s$ に同型である。
• $\{K_n^M(A/I^s)/p^r\}_s \to \none{K_n(A/I^s)/p^r\}_s$ の写像の核は制御可能であり、$I$ が主イデアルで $A/I$ が正則であるときには消える。
• 短完全系列 $0 \to \{\mathbb{W}_s\Omega_R^{n-1}/p^r\}_s \xrightarrow{\text{dlog} \circ \gamma_n} \{W_r\Omega_{R[t]/t^s,\text{log}}^n\}_s$ が、相対的および絶対的 Hodge–Witt 群を結ぶ。
• $H^i_{\text{Zar}}(Y, \{\mathcal{K}_{n,Y_s}\}) \to H^i_{\text{Zar}}(Y, \mathcal{K}_{n,Y})$ の写像の核および余核は $i+n < d-1$ のとき $p$ の冪で消える。これは $K$-理論の連続性を示唆する。
• $H^i_{\text{ét}}(Y, \{W_s\Omega_{Y_s,\text{log}}^n\}_s) \to H^i_{\text{ét}}(Y, \{W_s\Omega_{Y,\text{log}}^n\}_s)$ の比較写像の核および余核も $i+n < d-1$ のとき $p$ の冪で消える。これはエタールコホモロジーと連続コホモロジーを結ぶ。
• プロ $K$-理論と対数的 Hodge–Witt シェーブの同型を用いて、チャウ群に対する弱 Lefschetz予想が無限小設定で証明された。