[論文レビュー] K-Theory, D-Branes and Ramond-Ramond Fields

Alessandro Valentino|ArXiv.org|Dec 3, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 80被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、タイプI弦理論におけるD-braneと、オルビフォールド上のラムンド＝ラムンド場の等長的KO同調群における幾何学的・解析的同値性を確立し、有限群作用への一般化によりホップキンズ＝シングーの微分K理論を拡張したオルビフォールド微分K理論を構成する。良好なオルビフォールド上でのラムンド＝ラムンドフラックスのディラック量子化が、等長的K理論および等長的チャーン類によって支配されることを証明し、グローバル商上のタイプII弦理論におけるフラックス量子化および平坦場分類の包括的枠組みを提供する。

ABSTRACT

This thesis is dedicated to the study of K-theoretical properties of D-branes and Ramond-Ramond fields. We construct abelian groups which define a homology theory on the category of CW-complexes, and prove that this homology theory is equivalent to the bordism representation of KO-homology, the dual theory to KO-theory. We construct an isomorphism between our geometric representation and the analytic representation of KO-homology, which induces a natural equivalence of homology functors. We apply this framework to describe mathematical properties of D-branes in type I String theory. We investigate the gauge theory of Ramond-Ramond fields arising from type II String theory defined on global orbifolds. We use the machinery of Bredon cohomology and the equivariant Chern character to construct abelian groups which generalize the properties of differential K-theory defined by Hopkins and Singer to the equivariant setting, and can be considered as a differential extension of equivariant K-theory for finite groups. We show that the Dirac quantization condition for Ramond-Ramond fieldstrengths on a good orbifold is dictated by equivariant K-theory and the equivariant Chern character, and study the group of flat Ramond-Ramond fields in the particular case of linear orbifolds in terms of our orbifold differential K-theory.

研究の動機と目的

• タイプI弦理論におけるD-braneの位相的およびインデックス理論的記述を統合する、等長的KO同調群の幾何学的・解析的枠組みを構築すること。
• 有限群の作用に対する微分K理論を等長的設定に一般化し、グローバルオルビフォールド上のラムンド＝ラムンドフラックスを捉えるオルビフォールド微分K理論を構築すること。
• 良好なオルビフォールド上でのラムンド＝ラムンド場強度のディラック量子化条件を、等長的K理論および等長的チャーン類を用いて導出すること。
• 提案されたオルビフォールド微分K理論を用いて、線形オルビフォールド上での平坦ラムンド＝ラムンド場を分類すること。
• アティヤ＝シンガーのインデックス定理を等長的設定に拡張し、幾何学的および解析的K同調群の間の自然な同値性を確立すること。

提案手法

• G-サイクル（W, E, f）を用いて幾何学的等長的K同調群を構成：WはG-スピン^c構造をもつG多様体、EはGベクトル bundle、f: W → X はG-写像。
• バーディズム、直和、ベクトル bundle 変形を用いた同値関係を定義し、群 K^G_0(X) および K^G_1(X) を形成する。
• 等長的ディラック作用素を介して、幾何的および解析的等長的K同調群の間の同型を確立し、K-サイクルをフレドホルムGモジュールの類へ写像する。
• 等長的チャーン類を用いてK理論類とブレドンコホモロジーを関連付け、オルビフォールド上でのフラックス量子化を可能にする。
• 等長的チャーン類およびブレドンコホモロジーを用いて、有限群のための等長的K理論の微分拡張を定義し、ホップキンズ＝シングーの微分K理論を等長的設定に一般化する。
• 良好なオルビフォールド上でのラムンド＝ラムンド場のディラック量子化条件が、ブレドンコホモロジーにおける等長的チャーン類の像の結果として得られることを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプI弦理論におけるD-braneの文脈において、等長的KO同調群の幾何的および解析的表現を自然に同一視する方法は何か？
• RQ2 有限群作用のオルビフォールドにおける等長的K理論の正しい微分拡張は何か？ そして、それがどのようにグローバルオルビフォールド上のラムンド＝ラムンドフラックスを捉えるか？
• RQ3 良好なオルビフォールド上でのラムンド＝ラムンド場強度のディラック量子化条件は、等長的K理論および等長的チャーン類にどのように符号化されているか？
• RQ4 線形オルビフォールド上での平坦ラムンド＝ラムンド場の群の構造は何か？ そして、オルビフォールド微分K理論によってどのように記述されるか？
• RQ5 群作用が存在する状況下で、等長的インデックス定理は幾何的および解析的K同調群の間の関係をどのように規定するか？

主な発見

• 幾何的および解析的等長的KO同調群の間の同型が確立され、K同調群の二つの表現が自然に同値であることが証明された。
• 良好なオルビフォールド上でのラムンド＝ラムンド場強度のディラック量子化条件が、ブレドンコホモロジーにおける等長的チャーン類の像に等しいことが示された。
• 有限群のための微分拡張としてオルビフォールド微分K理論が構成され、ホップキンズ＝シングーの微分K理論が等長的設定に一般化された。
• 線形オルビフォールド上での平坦ラムンド＝ラムンド場の群が、オルビフォールド微分K理論群における等長的チャーン類の核として特定された。
• この枠組みにより、等長的設定におけるリーマン＝ロッホの公式が実現され、K同調群類が等長的チャーン類を通じて特性類へリンクされた。
• 本稿は、トーショント効果を含めたタイプI弦理論におけるD-braneの電荷の完全な数学的記述を提供した。