[論文レビュー] K-theory of the moduli of bundles over a Riemann surface and deformations of the Verlinde algebra

Constantin Teleman|ArXiv.org|Jun 24, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、G-バンドルのモジュライ空間上のK理論的クラスのインデックス公式が、ヴェルリンデ代数のフロベニウス代数的変形によって支配されることを予想する。これは、ねじれ-equivariant K理論と、交換子の積に沿ったギジン写像を用いて導出される。主な結果は、根の単位根に関する和として表される新しいインデックス公式であり、これは、より高次のねじれや仮想的ゲーブルに一般化されたヴェルリンデ公式を示している。

ABSTRACT

I conjecture that index formulas for $K$-theory classes on the moduli of holomorphic $G$-bundles over a compact Riemann surface $Σ$ are controlled, in a precise way, by Frobenius algebra deformations of the Verlinde algebra of $G$. The Frobenius algebras in question are twisted $K$-theories of $G$, equivariant under the conjugation action, and the controlling device is the equivariant Gysin map along the "product of commutators" from $G^{2g}$ to $G$. The conjecture is compatible with naive virtual localization of holomorphic bundles, from $G$ to its maximal torus; this follows by localization in twisted $K$-theory.

研究の動機と目的

• 決定的ラインバンドルを超える高次のK理論的クラス、特にインデックスバンドルや仮想的ゲーブルから生じるK理論的クラスへのヴェルリンデ公式の拡張を図ること。
• K理論的インデックスが有限次元のフロベニウス代数によって制御される構造的枠組みを構築し、ヴェルリンデ代数を一般化すること。
• 特異的状況でも有効である、ホロモーフィックG-バンドルのモジュライ空間上の仮想的K理論的クラスに対する新しいインデックス公式を提供すること。
• ねじれK理論と交換子の積写像を用いて、G-バンドルからT-バンドルへの仮想的局所化原理を確立すること。
• GのねじれK理論に埋め込まれた2次元トポロジカル場理論の構造によって、インデックスの記述を統一すること。

提案手法

• 予想は、ねじれ-equivariant K理論 $^\tau K_G^*(G)$ を用い、$\tau$ が仮想的ゲーブルに対応するように、ヴェルリンデ代数をフロベニウス代数としてモデル化する。
• 交換子の積 $\Pi: G^{2g} \to G$ に沿ったギジン写像は、トランスグレッションされたねじれを自明化されたものに持ち上げ、非ねじれK理論における計算を可能にする。
• モジュライ空間上のKクラスのインデックスは、$^\tau K_G^*(G^{2g})$ 内の単位クラス $^\tau 1$ のギジン押し出しのフロベニウス代数的トレースであると予想される。
• この方法により、仮想的局所化を用いて最大トーラスの寄与に還元され、次数 $d$ のラインバンドルのジュリアン $J_d$ における統合が関与する。
• インデックスはチャーン特徴類と分布を用いて表現され、最終的なインデックスは $u$-変数における contour 積分として与えられ、根の単位根におけるデルタ関数を捉え込む。
• この手法は、インデックスバンドルの指数関数的表現と座標系の変更に伴う調整を加えることで、ヴェルリンデ公式を高次のねじれに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-バンドルのモジュライ空間上のK理論的クラスのインデックス公式を、決定的ラインバンドルのケースを超えて、体系的に記述する方法は何か？
• RQ2 仮想的ゲーブルとして実現されるK理論の高次のねじれは、ヴェルリンデ代数の構造をどのように変形するか？
• RQ3 GのねじれK理論によって定義される2次元トポロジカル場理論を用いて、Kクラスのインデックスを計算できるか？
• RQ4 交換子の積に沿ったギジン写像から、$G_{\mathbb{C}}$-バンドルから $T_{\mathbb{C}}$-バンドルへの仮想的局所化はどのように生じるか？
• RQ5 Kクラスが指数関数的インデックスバンドル $\exp[t\alpha(V)]$ を含む場合、インデックス公式の明確な形は何か？

主な発見

• Kクラス $D^{\otimes h} \otimes \mathcal{E}$ のインデックスは、$d \in \mathbb{Z}$ に関する和を含む contour 積分として与えられ、被積分関数はチャーン特徴類と指数関数的因子を符号化する。
• 評価バンドル $\mathcal{E} = E_x^*V$ の場合、公式は標準的ヴェルリンデ公式に還元される： $\mathrm{Ind} = \sum_{\zeta^{2h+4}=1, \Im \zeta > 0} \frac{(2h+4)^{g-1}}{|\Delta(\zeta)|^{2g-2}} \cdot ch_V(\zeta)$。
• インデックスバンドルの指数関数的表現 $\exp[t\alpha(V)]$ の場合、インデックスは $\zeta_t^{2h+4} \exp(t \dot{f}(\zeta_t)) = 1$ の解 $\zeta_t$ に関する和となり、$\mathrm{Ind} = \sum_{\zeta_t} \left[ \frac{2h+4 + t \ddot{f}(\zeta_t)}{|\Delta(\zeta_t)|^2} \right]^{g-1}$ となる。
• 変数変換 $u \mapsto u \exp(t \dot{f}(u)/(2h+4))$ を用いることで、座標系がねじれ構造に適合される。
• 正規バンドルのK理論的オイラー類のチャーン特徴類は $(-1)^{g-1} (u e^\eta - u^{-1} e^{-\eta})^{2g-2} (u e^\eta)^{4d} e^{-4\eta}$ であることが示され、最終的なインデックス表現が得られる。
• 分布的性質により、$u = \pm 1$ を除いて収束が保証され、支持は $2(h+2)$ 乗根の単位根に集中し、最終的な公式はこれらの点でゼロであると宣言される。