[論文レビュー] K3 categories, one-cycles on cubic fourfolds, and the Beauville-Voisin filtration

Junliang Shen, Qizheng Yin|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、立方四次曲面 $Y$ のチャウ群 $\mathrm{CH}_1(Y)$ にフィルトレーションを導入し、$K3$ 範囲におけるオグレディの層／サイクル対応の非可換版を提案する。低次元の有理曲線に支持される層についてその予想を検証し、非可換 $K3$ 範囲 $\mathcal{A}_Y$ における安定対象のモジュライ空間の $\mathrm{CH}_0$ にベイユヴィル＝ヴォジンのフィルトレーションを構成し、代数的にコイサイロトロピックな部分多様体の存在を証明する。

ABSTRACT

We explore the connection between $K3$ categories and 0-cycles on holomorphic symplectic varieties. In this paper, we focus on Kuznetsov's noncommutative $K3$ category associated to a nonsingular cubic 4-fold. By introducing a filtration on the $\mathrm{CH}_1$-group of a cubic 4-fold $Y$, we conjecture a sheaf/cycle correspondence for the associated $K3$ category $\mathcal{A}_Y$. This is a noncommutative analog of O'Grady's conjecture concerning derived categories of $K3$ surfaces. We study instances of our conjecture involving rational curves in cubic 4-folds, and verify the conjecture for sheaves supported on low degree rational curves. Our method provides systematic constructions of (a) the Beauville-Voisin filtration on the $\mathrm{CH}_0$-group and (b) algebraically coisotropic subvarieties of a holomorphic symplectic variety which is a moduli sace of stable objects in $\mathcal{A}_Y$.

研究の動機と目的

• 立方四次曲面に付随する非可換 $K3$ 範囲に、$K3$ 表面の導来圏におけるオグレディの層／サイクル対応を拡張すること。
• 非特異的立方四次曲面 $Y$ に対して $\mathrm{CH}_1(Y)$ にフィルトレーション $S_\bullet(Y)$ を構成し、予想 0.1 の $K_0(\mathcal{A}_Y)$-フィルトレーションの候補とする。
• $Y$ 内の低次の有理曲線に支持される層について、予想される層／サイクル対応を検証すること。
• 非可換 $K3$ 範囲 $\mathcal{A}_Y$ 内の安定対象のモジュライ空間 $M$ に対して、$\mathrm{CH}_0(M)$ に体系的なベイユヴィル＝ヴォジンのフィルトレーションを構成すること。
• ラインのファノ多様体の幾何的構造と楕円曲面 $B$ を用いて、そのようなモジュライ空間に代数的にコイサイロトロピックな部分多様体を生成すること。

提案手法

• ファノ多様体 $F$ の特別な直線と標準的類を用いて、$\mathrm{CH}_1(Y)$ にフィルトレーション $S_\bullet(Y)$ を導入し、$S_i(Y)$ を $i$ 条の直線と $\mathbb{Z}$-倍の標準的類で生成する。
• $B \to F$ なる有理写像 $q$ を通じて、ファノ多様体 $F$ から $Y$ への対応 $[P]_*$ を定義する。ここで $B$ は捩れ点を持つ楕円曲面であり、$F$-定数サイクル曲線を誘導する。
• サイクル類写像 $\mathrm{cl}_Y: \mathrm{CH}^i(Y)_\mathbb{Q} \to H^{2i}(Y,\mathbb{Q})$ 及び $i \neq 3$ のときの単射性を用い、チャーン類のクラスとサイクル類を関連付ける。
• $M$ を $\mathcal{A}_Y$ 内の安定対象のモジュライ空間とし、$R \subset M \times B^{(d)}$ を対応と定義する。$R_0$ を $M$ および $B^{(d)}$ に支配的かつ一般に有限な射影を持つ成分とする。
• モジュライ空間 $M$ に存在する非退化な正則シンプレクティック形式と、$p_M$ および $p_{B^{(d)}}$ を通じたその引き戻しを用い、マムフォードの定理により、ファイバー類が $F$-定数サイクルであることを保証する。
• 曲面 $B$ 上の楕円曲線の捩れ構造を活用し、$F$-定数サイクル部分多様体の稠密性を示し、代数的にコイサイロトロピックな部分多様体の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方四次曲面 $Y$ に付随する非可換 $K3$ 範囲 $\mathcal{A}_Y$ に対して、オグレディのものと類似する層／サイクル対応が存在するか？
• RQ2 $\mathrm{CH}_1(Y)$ にフィルトレーションを構成できるか。その $i$ 番目の項が $\mathcal{A}_Y$ 内の $d(\mathcal{E}) = i$ を満たす対象に対応するか？
• RQ3 非可換 $K3$ 範囲 $\mathcal{A}_Y$ 内の安定対象のモジュライ空間 $M$ における $\mathrm{CH}_0(M)$ に現れるベイユヴィル＝ヴォジンのフィルトレーションは、$\mathrm{CH}_1(Y)$-フィルトレーションからどのように導かれるか？
• RQ4 $M$ に、ファノ多様体 $F$ 及び楕円曲面 $B$ の幾何的構造から生じる代数的にコイサイロトロピックな部分多様体が存在するか？
• RQ5 曲面 $B$ 上の楕円曲線の捩れ構造は、$M$ 内の $F$-定数サイクル部分多様体の稠密性をどの程度保証するか？

主な発見

• $\mathrm{CH}_1(Y)$ にフィルトレーション $S_\bullet(Y)$ を、特別な直線と標準的類を用いて構成し、$S_i(Y)$ を $i$ 条の直線と $\mathbb{Z}$-倍の標準的類 $[H]^3$ で生成する。
• 予想 0.1(b) の層／サイクル対応が、$Y$ 内の有理曲線（次数 $\leq 3$）に支持される層について検証された。
• $\mathrm{cl}_Y: \mathrm{CH}^i(Y)_\mathbb{Q} \to H^{2i}(Y,\mathbb{Q})$ は $i \neq 3$ のとき単射であり、チャーン類のクラスとサイクル類を同一視可能である。
• $\mathcal{A}_Y$ 内の安定対象のモジュライ空間 $M$ は、$c_3: K_0(\mathcal{A}_Y) \to \mathrm{CH}_1(Y)$ を通じた $S_\bullet(Y)$-フィルトレーションの引き戻しにより、$\mathrm{CH}_0(M)$ にベイユヴィル＝ヴォジンのフィルトレーションを備える。
• $R \subset M \times B^{(d)}$ の成分 $R_0$ が $M$ および $B^{(d)}$ に支配的かつ一般に有限な射影を持つことから、$p_M$ のファイバーが $F$-定数サイクル部分多様体であることが保証される。
• 楕円曲面 $B$ 上の捩れ構造を用い、$B$ 内の多価分岐曲線 $C \subset B$ 及び $\mathrm{CH}_0(g^{-1}(t))$ 内の捩れ点の存在により、$M$ 内の代数的にコイサイロトロピックな部分多様体の稠密性が保証される。