[論文レビュー] K3 Surfaces, N=4 Dyons, and the Mathieu Group M24

Miranda C. N. Cheng|arXiv (Cornell University)|May 28, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 50

ひとこと要約

本稿は、K3表面の楕円的生成関数とN=4超弦コンパクト化における1/4-BPSスペクトルに、マチュー群M24を関連付ける新しいムーンシャイン現象を提案する。特にM23に属さないM24の元によるねじれ楕円的生成関数を調べることで、これらの分配関数のモジュラー性がM24表現を符号化していることを示し、従来のマチュームーンシャインを量子的および非幾何的対称性へと拡張する。また、K3×T²にコンパクト化されたヘテロティックおよびタイプII超弦理論における新たなスペクトルを予測する。

ABSTRACT

A close relationship between K3 surfaces and the Mathieu groups has been established in the last century. Furthermore, it has been observed recently that the elliptic genus of K3 has a natural interpretation in terms of the dimensions of representations of the largest Mathieu group M24. In this paper we first give further evidence for this possibility by studying the elliptic genus of K3 surfaces twisted by some simple symplectic automorphisms. These partition functions with insertions of elements of M24 (the McKay-Thompson series) give further information about the relevant representation. We then point out that this new "moonshine" for the largest Mathieu group is connected to an earlier observation on a moonshine of M24 through the 1/4-BPS spectrum of K3xT^2-compactified type II string theory. This insight on the symmetry of the theory sheds new light on the generalised Kac-Moody algebra structure appearing in the spectrum, and leads to predictions for new elliptic genera of K3, perturbative spectrum of the toroidally compactified heterotic string, and the index for the 1/4-BPS dyons in the d=4, N=4 string theory, twisted by elements of the group of stringy K3 isometries.

研究の動機と目的

• K3表面の楕円的生成関数がM24表現論的構造を示すというマチュー・ムーンシャインの観察を、古典的K3幾何に実現されない対称性によるねじれ分配関数へと拡張すること。
• K3×T²にコンパクト化されたタイプII超弦理論の1/4-BPSスペクトルが一般化されたカク＝ムーディ代数を実現することに着目し、その根の重複度がM24対称性をどのように符号化しているかを調査すること。
• M24の元、特にM23に属さないものに対して、K3 CFTのねじれ楕円的生成関数の明示的公式を導出し、それらが弱ジャコビ形式としてのモジュラー性を満たすことを確認すること。
• モジュライ独立な不変性が生成される対称性のもとで、量子格子H²*(K3,Z) ≅ Γ⁴,²⁰がM24群全体と関連することを示し、すべての群元が1点での幾何的対称性として実現されないにもかかわらず、グローバルなM24ムーンシャインが成立することを示すこと。

提案手法

• K3 CFTにおけるM24の共轭類g ∈ M24によるねじれ楕円的生成関数Z_g(τ,z)を計算し、Z_K3(τ,z) = θ₁²(τ,z)/η³(τ) × (24μ(τ,z) + q⁻¹/⁸(−2 + T(τ)))の分解を用いる。
• ねじれ分配関数を標準的な弱ジャコビ形式φ₀,₁(τ,z)およびφ₋₂,₁(τ,z)の線形結合として表現し、合同部分群Γ₀(N)の重み2のモジュラー形式f_N(τ)を係数に含める。
• 各g ∈ M24に対してモジュラー群Γ₀(ord(g))を特定し、g ∈ M23のときのみZ_g(τ,z)が弱ジャコビ形式であることを示すが、g ∉ M23の場合にも整数フーリエ係数が保存されることを示す。
• ヘッケ固有形式および新形式（例：f₁₁(τ) = η²(τ)η²(11τ)、f₂₃,₁(τ)はℤ + ℤ(1−√5)/2に係数をもつ）を用いて、ねじれ生成関数式におけるモジュラー係数を構成する。
• 高レベルの弱ジャコビ形式の理論を適用し、可能な形式を分類し、重み0、指数1の形式がφ₀,₁とφ₋₂,₁ × f_N(τ)（f_N ∈ M₂(Γ₀(N))）によって張られることを示す。
• すべてのねじれケースにおいてフーリエ係数の整数性を検証し、モジュラー表現論的期待と整合していることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M23に属さないM24の元によるK3の楕円的生成関数のねじれが、モジュラー不変性と整数性を示す場合、より深いムーンシャイン構造が存在する可能性はあるか？
• RQ2 g ∈ M24に対するねじれ分配関数Z_g(τ,z)は、K3×T²にコンパクト化されたタイプII超弦理論の1/4-BPSスペクトルおよび関連する一般化されたカク＝ムーディ代数とどのように関係しているか？
• RQ3 ねじれ楕円的生成関数のモジュラー群構造は何か？なぜg ∈ M23のときのみ弱ジャコビ形式となるが、g ∉ M23の場合でも、整数的かつwell-definedな形を保つのか？
• RQ4 古典的K3幾何がM24のすべての対称性を実現しないにもかかわらず、量子的対称性によってH²*(K3,Z)格子上にM24ムーンシャインが実現可能か？
• RQ5 このM24ムーンシャインから、ヘテロティック超弦理論の摂動的スペクトルおよびd=4、N=4超弦理論における1/4-BPSダイオンのインデックスに対して、どのような新予測が得られるか？

主な発見

• g = 11Aの場合、Z₁₁A(τ,z)はレベル11の弱ジャコビ形式であり、新形式f₁₁(τ) = η²(τ)η²(11τ)から構成される係数と整数フーリエ係数を持つ。
• g = 23Aの場合、Z₂₃ₐ(τ,z)は係数がℤ + ℤ(1−√5)/2に属する2つの新形式f₂₃,₁(τ)およびf₂₃,₂(τ)を含み、全式は整数フーリエ係数を持つ。
• g = 2B（M23に属さない）の場合、Z₂B(τ,z)は16φ₋₂,₁(τ,z) q ∂q log(η(τ)η²(4τ)/η³(2τ))として表現され、Γ₀(2)のジャコビ形式でないにもかかわらずモジュラー不変性が保たれていることが確認された。
• g = 4A（M23に属さない）の場合、Z₄ₐ(τ,z)は8φ₋₂,₁(τ,z) q ∂q log(η(2τ)η²(8τ)/η³(4τ))として与えられ、整数係数を持つ。これは、古典的幾何を越えたムーンシャインの根拠を支持する。
• 本稿は、K3×T²にコンパクト化された超弦理論の1/4-BPSスペクトルが、楕円的生成関数のフーリエ係数に符号化されており、M24ムーンシャインを実現していることを確立した。根の重複度はM24の表現として変換する。
• 完全なムーンシャインは、M24が幾何的対称性としてすべての群元を1点で実現しないにもかかわらず、量子格子H²*(K3,Z) ≅ Γ⁴,²⁰と整合しており、グローバルなM24ムーンシャインが成立することが示された。