[論文レビュー] Kahler-Einstein structures of general natural lifted type on the cotangent bundles

S. L. Drut|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体 (M,g) の余接 bundle T*M における一般自然上昇型のケーラー・アインシュタイン構造を調査する。パラメータ λ が基本多様体の截曲率 c とアインシュタイン定数 δ の関数として明示的に表現され、T*M がケーラー・アインシュタイン構造を有するためには λ が c と δ の有理関数でなければならないことを示している。同様に、非零余接ベクトルの部分bundle T₀*M に対しても、導関数に依存する類似の表現が得られている。

ABSTRACT

We study the conditions under which the cotangent bundle T ⁄ M of a Riemannian manifold (M;g), endowed with a Kahlerian struc- ture (G;J) of general natural lift type (see (4)), is Einstein. We flrst ob- tain a general natural Kahler-Einstein structure on the cotangent bundle T ⁄ M. In this case, a certain parameter, ‚ involved in the condition for (T ⁄ M;G;J) to be a Kahlerian manifold, is expressed as a rational function of the other two, the value of the constant sectional curvature, c, of the base manifold (M;g) and the constant ‰ involved in the condition for the structure of being Einstein. This expression of ‚ is just that involved in the condition for the Kahlerian manifold to have constant holomorphic sec- tional curvature (see (5)). In the second case, we obtain a general natural Kahler-Einstein structure only on T0M, the bundle of nonzero cotangent vectors to M. For this structure, ‚ is expressed as another function of the other two parameters, their derivatives, c and ‰.

研究の動機と目的

• リーマン多様体 (M,g) の余接 bundle T*M が一般自然上昇型のケーラー・アインシュタイン構造を有するための条件を特定すること。
• 幾何的構造におけるパラメータ λ の役割と、それが基本多様体の截曲率 c とアインシュタイン定数 δ に依存する仕組みを分析すること。
• T*M からの分析を、非零余接ベクトルの部分bundle T₀*M に拡張し、c と δ の導関数を含む修正された λ の表現を導出すること。
• 得られたケーラー多様体における一定の複素幾何的截曲率と関連して、λ の幾何的意味を明確にすること。

提案手法

• 基本多様体 (M,g) からのテンソル場の上昇を用いて、T*M 上に一般自然ケーラー構造 (G,J) を構成する。
• 計量 G にアインシュタイン条件を課し、λ、c（多様体 M の截曲率）、δ（アインシュタイン定数）を含む方程式系を導出する。
• λ を c と δ の有理関数として導出し、一定の複素幾何的截曲率を満たす条件と整合することを示す。
• T₀*M 上の構造を別個に分析し、λ が c と δ の導関数を含む関数として表現されることを明らかにする。
• 一般自然上昇枠組みを用いて、バンドル全体にわたるテンソル的および幾何的整合性を保証する。
• 得られた構造がケーラー多様体に必要な積分可能性および相性条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般自然上昇型ケーラー構造 (G,J) を持つ余接 bundle T*M がアインシュタイン的であるための条件は何か？
• RQ2 全余接 bundle T*M において、パラメータ λ は基本多様体の曲率 c とアインシュタイン定数 δ とどのように関係しているか？
• RQ3 非零余接ベクトルの部分bundle T₀*M 上に一般自然ケーラー・アインシュタイン構造を構成可能か？その場合、λ は c と δ にどのように依存するか？
• RQ4 T*M の場合に導出された λ の表現は、得られるケーラー多様体が一定の複素幾何的截曲率を持つための条件と一致するか？
• RQ5 T₀*M に制限した場合、λ の表現における c と δ の導関数の役割は何か？

主な発見

• 全余接 bundle T*M において、パラメータ λ は基本多様体の截曲率 c とアインシュタイン定数 δ の有理関数として表現される。
• この λ の有理関数表現は、得られるケーラー多様体が一定の複素幾何的截曲率を持つために必要な条件と一致する。
• 部分bundle T₀*M においては、λ が c と δ の導関数を含む関数として表現され、非零の場合のより複雑な依存関係が示唆される。
• 導出された構造は、ケーラー多様体に必要な積分可能性および相性条件を満たしている。
• 結果として、アインシュタイン条件と一定の複素幾何的截曲率との間に、パラメータ λ を介した幾何的関係が確立される。
• 解析により、特定のパrametric条件の下で、T*M および T₀*M 上に一般自然ケーラー・アインシュタイン構造が存在することが確認された。