[論文レビュー] Kernels for Global Constraints

Serge Gaspers, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、制約処理におけるカーネル化を導入し、k をドメインの穴の数とするとき、AtMost-NValue 制約をサイズ O(k²) の同等のインスタンスに線形時間で削減するアルゴリズムを提示する。EGC 制約は、多項式階層が崩壊するならば、多項式カーネルをもたないことが証明され、グローバル制約における効率的な事前処理の理論的限界を確立する。

ABSTRACT

Bessiere et al. (AAAI'08) showed that several intractable global constraints can be efficiently propagated when certain natural problem parameters are small. In particular, the complete propagation of a global constraint is fixed-parameter tractable in k - the number of holes in domains - whenever bound consistency can be enforced in polynomial time; this applies to the global constraints AtMost-NValue and Extended Global Cardinality (EGC). In this paper we extend this line of research and introduce the concept of reduction to a problem kernel, a key concept of parameterized complexity, to the field of global constraints. In particular, we show that the consistency problem for AtMost-NValue constraints admits a linear time reduction to an equivalent instance on O(k^2) variables and domain values. This small kernel can be used to speed up the complete propagation of NValue constraints. We contrast this result by showing that the consistency problem for EGC constraints does not admit a reduction to a polynomial problem kernel unless the polynomial hierarchy collapses.

研究の動機と目的

• 制約プログラミング分野のグローバル制約において、特にカーネル化を含むパrameterized 複雑性技術を拡張すること。
• AtMost-NValue や拡張グローバルカードィナリティ（EGC）のような困難なグローバル制約が、問題カーネルを通じて効率的な事前処理を受けるかどうかを調査すること。
• EGC 制約のカーネル化の理論的限界を、複雑性理論的仮定に基づいて特定すること。
• カーネル化と分岐アルゴリズムを組み合わせ、NValue 制約の完全な伝播を効率的かつ実用的に実現するアルゴリズムを開発すること。
• パrameterized 複雑性に基づいて、多項式カーネルを許容する制約と許容しない制約の間の理論的分離を確立すること。

提案手法

• k 個のドメインの穴を持つ AtMost-NValue 制約を、O(k²) 個の変数とドメイン値を持つ同等の制約に線形時間で削減するカーネル化アルゴリズムを提案する。
• 2段階のアプローチを採用する：まず、穴に配慮したドメインフィルタリングにより、いかなる解にも含まれない値をフィルタリングする。次に、整合性を保持しつつサイズを最小限に抑える削減を適用する。
• サポートされていない値を効率的に特定・削除するために、変更を加えた HAC（Hole-Aware Consistency）アルゴリズムを用いる。
• カーネル化されたインスタンスに対して、時間計算量 O(1.6181^k) の分岐アルゴリズムを適用し、整合性を確認する。
• CNF 公式を EGC 制約に符号化する方法（各変数 v に対して D(v) = {0, i_v} の二値集合を用いる）を用いて、SAT（変数数をパラメータとする）から EGC 整合性問題への多項式パラメータ還元を構築する。
• 複雑性理論的結果を用いて、EGC が多項式カーネルをもてば、NP ⊆ coNP/poly が成り立ち、多項式階層が崩壊することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 AtMost-NValue 制約の整合性問題は、カーネル化によって、小さな同等のインスタンスに削減可能か？
• RQ2 EGC 制約は、集合 D(v) の穴の数をパラメータとするとき、多項式カーネルをもつか？
• RQ3 カーネル化による効率的事前処理を許容するグローバル制約と許容しない制約の理論的境界は何か？
• RQ4 カーネル化技術は、分岐アルゴリズムと効果的に組み合わせられ、完全な制約伝播の性能を向上させられるか？
• RQ5 EGC 制約のカーネル化には、どのような複雑性理論的含意があるか？

主な発見

• AtMost-NValue 制約の整合性問題は、k（ドメインの穴の数）を用いて、O(k²) のサイズを持つ同等のインスタンスへの線形時間カーネル化が可能である。
• カーネル化されたインスタンスは、分岐アルゴリズムを用いて O(1.6181^k) 時間で解くことができ、k が小さい場合には性能が顕著に向上する。
• カーネル化アプローチにより、問題サイズが k のみに依存するように削減され、NValue 制約の効率的完全伝播が可能になる。
• EGC 制約の整合性問題は、NP ⊆ coNP/poly が成り立たない限り、多項式カーネルをもたない。これは多項式階層の崩壊を意味する。
• SAT（変数数をパラメータとする）から EGC 整合性問題への多項式パラメータ還元を構築し、カーネル化の下界を証明した。
• 結果として、標準的な複雑性仮定のもとで明確な二分法が成立する：NValue 制約は効率的なカーネル化を許容するが、EGC 制約は許容しない。