[論文レビュー] Khovanov homology for links in $\#^r(S^2 imes S^1)$

Michael Willis|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Rozanskyのアプローチを応用し、無限大のフルターンとBar-Natanの形式的コボルディズムフレームワークを用いて、S²×S¹のr個の連結和で表されるMrと表される3次元多様体におけるリンクのKhovanovホモロジーを拡張する。この構成により、スケイン加群S(Mr)およびWRT不変量をカテゴライズするZ-次数付きホモロジー理論が得られ、ハンドルスライドと Reidemeister移動の不変性が保証される。

ABSTRACT

We revisit Rozansky's construction of Khovanov homology for links in $S^2 imes S^1$, extending it to define Khovanov homology $Kh(L)$ for links $L$ in $M^r=#^r(S^2 imes S^1)$ for any $r$. The graded Euler characteristic of $Kh(L)$ can be used to recover WRT invariants at certain roots of unity, and also recovers the evaluation of $L$ in the skein module $\mathcal{S}(M^r)$ of Hoste and Przytycki when $L$ is null-homologous in $M^r$. The construction also allows for a clear path towards defining a Lee's homology $Kh'(L)$ and associated $s$-invariant for such $L$, which we will explore in an upcoming paper. We also give an equivalent construction for the Khovanov homology of the knotification of a link in $S^3$ and show directly that this is invariant under handle-slides, in the hope of lifting this version to give a stable homotopy type for such knotifications in a future paper.

研究の動機と目的

• S³からMr = #r(S²×S¹)というホモロジー球でない3次元多様体へのKhovanovホモロジーの一般化を図る。これは位相的課題を伴う。
• HosteとPrzytyckiのスケイン加群S(Mr)およびWitten-Reshetikhin-Turaev（WRT）不変量（特定の単位根における）を両方カテゴライズするホモロジー理論を提供すること。
• フルターンの性質と切断された複体の性質を活用し、ハンドルスライドおよびアタッチメント球面を通過するストランドの移動を含む、Mrにおけるアバニエント同相下での不変性を確立すること。
• 将来の研究において、MrにおけるリンクのLee型ホモロジーとs不変量を定義する基盤を築くこと。

提案手法

• r個の互いに分離された2次元球面（ベルト球面）上の端点を持つタングル図を用い、手術球面を示す破線で表すことで、Mrにおけるリンクを表現する。
• 各破線をki個の右回りフルターンを持つトーラスbraidsに置き換えることで、S³への上昇を構成し、ki → ∞ となる図L(⃗k)を得る。
• Bar-Natanの普遍的形式的コボルディズム圏を用い、ki → ∞ の極限においてTemperley-Lieb圏内の制限された複体を定義する。
• この制限複体にKhovanovの函手を適用し、次数付きアーベル群の無限大複体を得る。
• Kh(L)をこの複体の（次数付き）ホモロジーとして定義し、これはMrにおけるアバニエント同相下で不変である。
• 偶数個の交差数による符号キャンセレーションとドットスライドの性質を用いて、切断複体C∗>a(ki)がドットスライドと符号キャンセレーションの下で一貫して振る舞うことを示し、ハンドルスライドおよびストランドプッシュ移動の不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Khovanovホモロジーは、#r(S²×S¹)におけるリンクに、スケイン加群S(Mr)およびWRT不変量を両方カテゴライズする形で拡張可能か？
• RQ2 無限大ターン極限構成は、非自明なハンドルスライドを含む、Mrにおけるアバニエント同相下で不変であるように、どのように厳密に定式化可能か？
• RQ3 切断複体C∗>a(ki)およびそのドットスライド性質は、ストランドプッシュおよびハンドルスライドの不変性を示す際に果たす役割は何か？
• RQ4 この構成は、MrにおけるリンクのLee型ホモロジーおよび関連するs不変量を定義するために適応可能か？
• RQ5 Lipshitz-Sarkarの研究に類似して、このホモロジー理論を、Mrにおけるリンクのknotificationに対して安定ホモトピー型へと上げる道筋はあるか？

主な発見

• 任意のリンクLに対して、KhovanovホモロジーKh(L)は、ベルト球面S²iとの幾何的交差数niが偶数である限り、well-definedであり、Mrにおけるアバニエント同相下で、全体的な次数シフトを除き不変である。
• Kh(L)の次数付きオイラー特徴は、特定の単位根におけるMrにおけるLのWRT不変量を回復し、量子不変量のカテゴライズを提供する。
• Mrにおけるノンホモロジーカルリンクに対しては、次数シフトが消え、Kh(L)はHosteとPrzytyckiが定義したスケイン加群S(Mr)におけるLの評価を回復する。
• ハンドルスライドおよびストランドプッシュ移動の不変性は、偶数個の交差数による符号キャンセレーションを伴う、切断複体におけるドットスライドの性質によって確立される。
• ki → ∞ におけるトーラスbraids Fki ni の制限複体は、上から下へのストランドの通過を伴わずに表現可能であり、一貫したストランド引き抜きを可能にする。
• Rozanskyの元々のS²×S¹の構成で用いられる導来圏やHochschildホモロジーを避ける代わりに、Bar-Natanの形式的コボルディズムフレームワークを一貫して用いることで、より高 genus の多様体への明確な拡張が可能になる。