[論文レビュー] Kinetic limit for a chain of harmonic oscillators with a point Langevin thermostat

Tomasz Komorowski, Stefano Olla|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、点ラングジューヴァン・サーモスタットを備えた一次元調和振動子鎖の運動限界を確立し、フォノンエネルギーのウィグナー分布が、サーモスタット位置における界面条件を有する線形運動限界方程式の解に収束することを示している。界面条件は、フォノンの反射、透過、吸収を記述し、分散関係およびサーモスタット強度から明示的な確率が導かれる。これにより、エネルギーと運動量を保存するバルク散乱を含む、先行研究の拡張がなされた。

ABSTRACT

We consider an infinite chain of coupled harmonic oscillators with a Langevin thermostat attached at the origin and energy, momentum and volume conserving noise that models the collisions between atoms. The noise is rarefied in the limit, {that corresponds to the hypothesis} that in the macroscopic unit time only a finite number of collisions takes place (Boltzmann-Grad limit). We prove that, after the hyperbolic space-time rescaling, the Wigner distribution, describing the energy density of phonons in space-frequency domain, converges to a positive energy density function $W(t, y, k)$ that evolves according to a linear kinetic equation, with the interface condition at $y=0$ that corresponds to reflection, transmission and absorption of phonons. The paper extends the results of [3], where a thermostatted harmonic chain (with no inter-particle scattering) has been considered.

研究の動機と目的

• バルクの確率的運動量交換と単一の点ラングジューヴァン・サーモスタットを有する調和鎖におけるマクロなエネルギー輸送を分析すること。
• ハイパボリック空間時間スケーリング下でのウィグナー分布の流体力学的極限を導出すること。これにはバルク散乱と境界サーモスタット効果の両方を考慮する。
• 極限におけるエネルギー密度が、サーモスタット位置に非自明な界面条件を有する線形運動限界方程式に従って進化することを確立すること。
• 先行研究（例：[13]）を拡張し、エネルギーと運動量を保存するバルクの確率的ノイズを組み込むこと。これは粒子間散乱をモデル化するが、エネルギーと運動量を保存する。
• 反射、透過、吸収の界面確率が、フォノン波数 k の関数として、系の分散関係およびサーモスタット強度から導かれるものであることを厳密に正当化すること。

提案手法

• 空間および時間のスケーリングに小さなパラメータ ǫ を導入し、マクロな時間単位あたり有限個の衝突が発生する運動限界をモデル化する。
• 時間に独立した増分を持つ連続的で拡散的なノイズを用いてバルク運動量交換をモデル化し、全エネルギーと運動量を保存する。
• ハイパボリック空間時間スケーリング（x → ǫx, t → ǫt）を適用し、ウィグナー分布 W(t, y, k) のマクロな極限を導出する。
• ドゥハメルの公式を用いて、サーモスタットを有する確率的波動方程式の解を表現し、ノイズの摂動的取り扱いを可能にする。
• ラプラス変換およびスペクトル解析を用いて、バルクノイズの独立増分を活用し、ウィグナー分布が界面条件を有する線形運動限界方程式の解に収束することを確立する。
• バルクノイズの独立増分を活用し、これを摂動として取り扱い、イto補正項の明示的計算とドミネートドコンバージェンスによる収束を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バルクの運動量保存的ノイズを有する調和鎖において、点ラングジューヴァン・サーモスタットの存在がマクロなエネルギー輸送にどのように影響を与えるか？
• RQ2 運動限界において、フォノンの反射、透過、吸収を支配するサーモスタット位置における界面条件は何か？
• RQ3 反射、透過、吸収の確率は、フォノン波数 k およびサーモスタット強度 γ₁ にどのように依存するか？
• RQ4 バルク散乱と境界サーモスタットが共に存在する場合に、運動限界を厳密に導出できるか？これは、バルクノイズなしの先行結果を拡張するものである。
• RQ5 バルクノイズの時間にわたる独立増分が、摂動的手法による収束証明を可能にする役割は何か？

主な発見

• ǫ → 0 の極限において、ウィグナー分布 W(t, y, k) は y = 0 における界面条件を有する線形運動限界方程式の解に収束する。
• 界面条件 (1.3) は、サーモスタット位置におけるフォノンの反射、透過、吸収を記述し、分散関係 ω(k) およびサーモスタット強度 γ₁ に依存する確率 p₊(k)、p₋(k)、および ı(k) を含む。
• 確率は正規化されている：p₊(k) + p₋(k) + ı(k) = 1 であり、これにより W(t, y, k) = T が熱平衡に対応する定常解となる。
• バルクにおける散乱核 R(k, k′) は、|k| が小さいとき R(k) ∼ |k|² を満たし、調和鎖の長波長挙動と整合的である。
• ノイズの独立増分を活用し、解のドゥハメル表現を用いて収束を確立した。
• サーモスタット温度 T > 0 であっても極限が成立し、作成率 ı(k)T がフォノンの注入を記述する。収束は時間および空間に関して一様である。