[論文レビュー] Kirillov's formula and Guillemin-Sternberg conjecture

Michel Duflo, Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、再帰的リー群の非コンパクトな共伴軌道に対して、キリロフのキャラクター公式とデュイステルマット＝ヘッカマン測度を用いて、ギュイユマン＝シュテルンバーグ予想の新しい証明を提供する。p:M→h* が固有であるとき、単位的表現 Π に関連する共伴軌道 M におけるコンパクト部分群 H の既約表現の重複度が、そのモーメント写像の纤维から、一般化関数と A-hat genus の補正項を用いて計算可能であることを示している。これはパラダンの先行結果を拡張するものである。

ABSTRACT

Let G be a connected reductive real Lie group, and H a compact connected subgroup. Harish-Chandra associates to a regular coadjoint admissible orbit M of G some unitary representations of G. Using the character formula for these representations, we show that the multiplicities of the restriction to H can be computed, under a suitable properness assumption, in terms of the fibers of the restriction map from M to the dual of the Lie algebra of H. In particular, this gives an alternate proof of a result of Paradan.

研究の動機と目的

• 再帰的リー群の共伴軌道として生じる非コンパクトハミルトニアン多様体に対して、ギュイユマン＝シュテルンバーグ予想の別証明を提供すること。
• 正則な共伴軌道 M に関連する単位的表現 Π におけるコンパクト部分群 H の既約表現の重複度を表す公式を確立すること。
• モーメント写像 p:M→h* が固有であるとき、これらの重複度がその写像の纤维によって決定されることを示すこと。
• キャラクター論的および幾何学的手段を用いて、非最大次元の共伴軌道に対しても「量子化は還元と可換である」原理を拡張すること。
• 特異な還元空間に対して、デュイステルマット＝ヘッカマン測度と頂点寄与項を用いて A-hat genus の補正項を組み込むこと。

提案手法

• 単位的表現 Π のキャラクターを、共伴軌道 M 上のリウヴィル測度 β_M のフーリエ変換と関連付けるためにキリロフのキャラクター公式を用いる。
• 表現 Π を H に制限したものを、重複度関数 m(ν) と中心化されたボックススプライン B_c(Φ) の畳み込みとして表現する。ここで Φ は g/h のルート系を符号化する。
• h* 上の区分的多項式測度としてのデュイステルマット＝ヘッカマン測度 DH(M,p) を定義し、その纤维が還元空間 M_ν を符号化することを示す。
• トーラス元 s∈T を用いた頂点寄与項を導入し、還元空間の特異性を扱う。各頂点 s に対して、一般化された測度 DH(M,s,τ) を定義する。
• ダーメン＝ミッチャエルの非畳み込み公式を用いて畳み込みを逆転させ、DH 測度から重複度関数 m(ν) を回復する。
• 還元空間 M_ν に A-hat genus の補正を適用し、r(ν) = Â(Φ)d^a(ν) を、システムがユニモジュラーのとき Q(M_ν) として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群 G の共伴軌道 M に関連する単位的表現における H-表現の重複度は、モーメント写像 p:M→h* の纤维から計算可能か？
• RQ2 モーメント写像 p が固有であっても、軌道が最大次元でない場合に、「量子化は還元と可換である」原理は成り立つか？
• RQ3 A-hat genus の補正項は、特異な還元空間の正しい量子化を回復するために、どのようにデュイステルマット＝ヘッカマン測度に組み込まれるか？
• RQ4 トーラス元 s による固定点部分多様体 M(s) は、重複度関数 m(ν) を再構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 すべての頂点 s∈T に対して関連する一般化されたデュイステルマット＝ヘッカマン測度 DH(M,s,τ) から、重複度関数 m(ν) を回復できるか？

主な発見

• モーメント写像 p:M→h* が固有であるとき、Π を H に制限した場合の、既約 H-表現 Π^H(ν) の重複度は、還元空間 M_ν の量子化 Q(M_ν) に等しい。
• p(M)^0 の内部に属するすべての正則 ν に対して、Q(M)|_H = ∑_{ν∈P_h^+ ∩ p(M)^0} Q(M_ν) Q(Hν) が成り立つ。これはパラダンの結果を拡張する。
• 重複度関数 m(ν) は、ダーメン＝ミッチャエルの非畳み込み公式を用いてボックススプライン畳み込みの逆を取ることで回復される。
• ルート系 Φ がユニモジュラーのとき、還元空間 M_ν は滑らかであり、Q(M_ν) ∈ ℤ は整数値の量子化である。
• 非ユニモジュラーの場合、重複度は測度 DH(M,s,τ) を用いた頂点寄与項から再構成され、局所的な符号 ε(s,τ) と固定点データが含まれる。
• システムがユニモジュラーのとき、A-hat genus の補正 r(ν) = Â(Φ)d^a(ν) は Q(M_ν) に等しく、特異な場合にも一般化された測度を用いることで正しい補正が得られる。