[論文レビュー] Kloosterman sheaves for reductive groups

Jochen Heinloth, Ngô Bảo Châu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、幾何的ラングランズプログラムの枠組みにおいて、任意の分離的再帰的群 $\check{G}$ に対して $ρ$-adic クルーストマン・シェーブを幾何的メソッドを用いて構成する。この研究は、アフィン・グラスマンニアンにおける特異点の解消を用いて、これらのシェーブを一様に構成し、それらが例外的モノドロミー群 $G_2$、$F_4$、$E_7$、$E_8$ を持つモチーフ的ガロア表現を生じることを証明する。また、古典的クルーストマン・シェーブと類似した、野生的分岐およびモノドロミーの性質を確立する。

ABSTRACT

Deligne constructed a remarkable local system on $\bP^1-\{0,\infty\}$ attached to a family of Kloosterman sums. Katz calculated its monodromy and asked whether there are Kloosterman sheaves for general reductive groups and which automorphic forms should be attached to these local systems under the Langlands correspondence. Motivated by work of Gross and Frenkel-Gross we find an explicit family of such automorphic forms and even a simple family of automorphic sheaves in the framework of the geometric Langlands program. We use these automorphic sheaves to construct l-adic Kloosterman sheaves for any reductive group in a uniform way, and describe the local and global monodromy of these Kloosterman sheaves. In particular, they give motivic Galois representations with exceptional monodromy groups G_2,F_4,E_7 and E_8. This also gives an example of the geometric Langlands correspondence with wild ramifications for any reductive group.

研究の動機と目的

• 任意の分離的再帰的群 $\check{G}$ に対してクルーストマン・シェーブを構成し、$\mathbb{G}_m$ 上の古典的クルーストマン・シェーブを一般化すること。
• カッツの問いに答えること：すべての単純群、特に例外的群が、$\mathbb{G}_m$ 上の局所系の幾何的モノドロミー群として現れるか。
• 幾何的ラングランズプログラムの枠組みにおいて、これらのクルーストマン・シェーブを実現する自動的シェーブの一様な幾何的構成を提供すること。
• 構成されたシェーブの局所的および大域的モノドロミー、特に $\infty$ における野生的分岐を計算すること。
• シェーブが、例外的幾何的モノドロミー群 $G_2$、$F_4$、$E_7$、$E_8$ を持つモチーフ的ガロア表現を生じることを示すこと。

提案手法

• アフィン・グラスマンニアン内の $\textup{Ad}(G)U^\times_{-\gamma,-1}$ の閉包の解消 $\nu: G \times_{P_{-\theta}} (\prod_{\langle \beta, -\gamma^\vee \rangle \geq 2} U_{\beta,-1}) \to \operatorname{Gr}^{\textup{triv}}_{\leq \gamma^\vee}$ を用いること。
• 幾何的設定において、導来押し出し $R\pi_!\sigma^*\textup{AS}_\psi[n-1]$ を用いて、$\mathbb{G}_m$ 上の $\check{G}$-局所系 $\textup{Kl}_{\check{G}}$ を構成すること。
• グロタンディーク＝リーマン・ゼータのトレース公式を適用し、シェーブのモノドロミーを指数和に関連づけ、古典的クルーストマン和を一般化すること。
• ブルハット分解とファイバーごとのオイラー特性の公式を用いて、アフィン・グラスマンニアンのストラタにおけるオイラー特性 $\chi_c$ を計算すること。
• アフィン・グラスマンニアン上の字面 $J$ とその評価写像による引き戻しを用いて、モノドロミー不変量を計算すること。
• 根系の分析（例：$G_2$）を用いた、各軌道および解消写像のファイバーにおける $\chi_c$ の個別計算による還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の分離的再帰的群 $\check{G}$ に対して、$\mathrm{GL}_n$ に限らずクルーストマン・シェーブを構成できるか？
• RQ2 これらのシェーブは、$G_2$、$F_4$、$E_7$、$E_8$ のような例外的幾何的モノドロミー群を持つモチーフ的ガロア表現を実現するか？
• RQ3 これらのシェーブの局所的および大域的モノドロミー、特に $\infty$ および $0$ におけるモノドロミーは何か？
• RQ4 任意の再帰的群に対して、幾何的ラングランズ対応において野生的分岐を実現できるか？
• RQ5 幾何的ラングランズプログラムにおいて、このようなクルーストマン・シェーブを生じる自動的シェーブの一様な構成は存在するか？

主な発見

• 本稿は、アフィン・グラスマンニアンにおける特異点の解消を用いた一様な幾何的メソッドにより、任意の分離的再帰的群 $\check{G}$ に対して $\ell$-adic クルーストマン・シェーブ $\textup{Kl}_{\check{G}}$ を構成する。
• シェーブ $\textup{Kl}_{\check{G}}$ は $0$ で正規分岐し、単位的モノドロミーを有し、$\infty$ で完全に野生的分岐し、スワン指数は $1$ である。
• 大域的幾何的モノドロミー群 $\check{G}_{\textup{geo}}$ が $\check{G}$ 自身に同型であることが示され、すべての再帰的群、特に例外的群がモノドロミー群として現れることを確認する。
• $G_2$ の計算により、$\chi_c(\operatorname{Gr}^{\textup{triv},a=0}_{\gamma^\vee},{\rm ev}^*J) = -1$ が得られ、モノドロミー構造の検証に不可欠である。
• シェーブは、例外的幾何的モノドロミー群 $G_2$、$F_4$、$E_7$、$E_8$ を持つモチーフ的ガロア表現を生じる。カッツの問いに肯定的に答え、その解決を示す。
• 本構成は、古典的 $\mathrm{GL}_n$ を超えて、任意の再帰的群に対して野生的分岐を有する幾何的ラングランズ対応の最初の例を提供する。