[論文レビュー] KMS and ground states on ultragraph C*-algebras

Gilles G. de Castro, Daniel Gonçalves|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、条件 (RFUM) を満たす超図 C*-代数におけるKMS状態および基底状態を、複数の同等な記述を用いて特徴づけている。それらには、アーベル代数上の状態、正則ボレル確率測度、一般化された頂点上の関数、およびコア部分代数上の状態が含まれる。既存のグラフに関する結果を一般化し、エクセル＝ラカでもグラフ C*-代数でもない超図 C*-代数に対しても、KMS状態および基底状態の存在を示している。

ABSTRACT

We describe KMS and ground states arising from a generalized gauge action on ultragraph C*-algebras. We focus on ultragraphs that satisfy Condition~(RFUM), so that we can use the partial crossed product description of ultragraph C*-algebras recently described by the second author and Danilo Royer. In particular, for ultragraphs with no sinks, we generalize a recent result by Toke Carlsen and Nadia Larsen: Given a time evolution on the C*-algebra of an ultragraph, induced by a function on the edge set, we characterize the KMS states in five different ways and ground states in four different ways. In both cases we include a characterization given by maps on the set of generalized vertices of the ultragraph. We apply this last result to show the existence of KMS and ground states for the ultragraph C*-algebra that is neither an Exel-Laca nor a graph C*-algebra.

研究の動機と目的

• 条件 (RFUM) を満たす超図 C*-代数における KMS 状態および基底状態を、複数の同等な記述法を用いて特徴づけること。
• 既知のグラフ C*-代数における KMS 状態の結果を、条件 (RFUM) の下で超図 C*-代数へと拡張すること。
• エクセル＝ラカでもグラフ C*-代数でもない超図 C*-代数に対し、KMS 状態および基底状態の存在を示すこと。
• 超図 C*-代数の部分交叉積構造を活用して、時間発展および平衡状態を解析すること。

提案手法

• 第二著者とロイヤーが最近開発した超図 C*-代数の部分交叉積記述を用いる。
• 超図 C*-代数上の一般化されたゲージ作用を用い、辺集合上の関数を介して時間発展を定義する。
• KMS 状態を五つの同等な記述で特徴づける：C(X) 上の状態、X における正則ボレル確率測度、一般化された頂点上の関数、コア部分代数上の状態、および条件 m1–m4 を満たす写像 M による記述。
• 基底状態を四つの同等な記述で特徴づける：アーベル部分代数上の状態、そのスペクトル上の正則ボレル確率測度、一般化された頂点上の関数、およびすべての e に対して M(e)=0 を満たす写像 M による記述。
• 可算無限個の 0-1 行列 A を用いて、エクセル＝ラカでもグラフ C*-代数でもない C*-代数を定義する具体的な超図 F を構成する。
• KMS 状態の存在を確認するため、β > 0 を満たす一般化された頂点上の関数 m を、m1–m4 を満たすように構成する。基底状態の存在は、m(v_i) = 0 かつ m(B) + m({w}) = 1 とすることで確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 (RFUM) を満たす超図 C*-代数における KMS 状態を、複数の同等な方法でどのように特徴づけられるか？
• RQ2 エクセル＝ラカでもグラフ C*-代数でもない超図 C*-代数に対し、KMS 状態の存在を保証する条件は何か？
• RQ3 超図 C*-代数における基底状態は、アーベル部分代数のスペクトル上の測度および一般化された頂点上の関数とどのように関係するか？
• RQ4 超図 C*-代数の部分交叉積構造を活用して、一般化された頂点上の力学系を用いて KMS 状態および基底状態を記述できるか？
• RQ5 辺上の関数 N は、与えられた β > 0 に対して KMS 状態の存在および構造を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• シンクを含まない、かつ条件 (RFUM) を満たす超図 C*-代数における KMS 状態は、アーベル代数のスペクトル X における正則ボレル確率測度の部分集合とアフィン同型写像で一対一対応する。
• KMS 状態は、特定の可 summability 条件およびスケーリング条件を満たす一般化された頂点上の関数ともアフィン同型で一対一対応する。
• 基底状態は、すべての i ∈ ℕ に対して m(v_i) = 0 かつ m(B) + m({w}) = 1 を満たす関数 m によって特徴づけられる。
• 行列 A を用いて構成された超図 F に対して、任意の β > 0 に対して、∑_{i=1}^∞ c_i^{-β} < ∞ かつ d_β が d_β^2 / (1 - d_β^2) ≤ 1/6 を満たすとき、KMS 状態が存在する。
• m({w}) ∈ [0,1) が m({w}) / (1 - m({w})) ≥ ∑_{i=1}^∞ c_i^{-β} を満たすとき、KMS 状態の存在が保証され、m(B) および m(v_i) は再帰的に定まる。
• 基底状態空間は空でなく、すべての有限頂点射影の測度がゼロであり、測度が無限集合 B および頂点 w に集中している状態からなる。