[論文レビュー] KMS-weights on C*-algebras

Johan Kustermans|ArXiv.org|Apr 29, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 36

ひとこと要約

本稿は、コンベスの元来の定式化と同等であるが、代替的定義に基づくC*-代数上のKMS重みの厳密な枠組みを確立する。基礎的道具として、KMS重みのテンソル積、与えられた重みに絶対連続な重みの構成、およびモジュラー自己同型群による相対的不変性を満たす正則な元が、それらの重みを生成することの一意性を証明する。これにより、C*-代数的量子群における応用が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we build a solid framework for KMS-weights on C*-algebras. We use another definition than the one introduced by Combes, but prove that they are equivalent.

研究の動機と目的

• Combesの元来の定義とは異なり、技術的により強固で自己完結的なC*-代数上のKMS重みの枠組みを提供すること。ただし、元来の定義と同等であることを証明する。
• KMS重みのテンソル積や、与えられた重みに絶対連続な重みといった、基本的道具の開発。
• C*-代数に付随する正則な元がモジュラー自己同型群に関して相対的不変である場合、その元が関連するKMS重みを一意に決定することの証明。
• C*-代数的量子群理論、特に左ハール重みの文脈において、KMS重みの使用を支援すること。

提案手法

• 複素ストリップ上での汎関数の解析接続に基づく、KMS重みの代替的定義を導入し、モジュラー自己同型群と整合性を保つようにする。
• GNS構成を用いて、C*-代数上のKMS重みを、フォンノイマン代数上の正規重みに結びつける。これにより、ラドン＝ニコディム理論の適用が可能になる。
• ヒルベルト空間表現における作用素の閉性およびコアに関する議論を用い、特定の写像がKMS重みを生成することを証明する。
• C*-代数に付随する正則な元 $\delta$ に対して、相対的不変性の条件下で重み $\varphi_{\delta}(x) = \varphi(\delta^{1/2}x\delta^{1/2})$ を構成する。
• モジュラー共役作用素 $J$ と表現 $\pi$ を用い、GNS構成と $\delta^{1/2}$ の作用を $J\pi(\delta^{1/2})J$ を通じて関連付ける。
• GNS表現において、列 $\sigma_{i/2}(e_n)^*$ が 1 に強く収束することを用い、作用素 $J\pi(\delta^{1/2})J$ のコアを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数上のKMS重みについて、Combesの元来の定式化と同等であるが、技術的により都合の良い代替的定義は存在するか？
• RQ2 2つのKMS重みのテンソル積は、KMS性およびモジュラー構造を保つ方法で構成可能か？
• RQ3 C*-代数に付随する正則な元 $\delta$ が、$\varphi_{\delta}(x) = \varphi(\delta^{1/2}x\delta^{1/2})$ によってKMS重みを生成するための条件は何か？
• RQ4 モジュラー群に関して相対的不変である正則な元 $\delta$ が、KMS重み $\varphi_{\delta}$ によって一意に決定されるか？

主な発見

• 本稿で提示されるKMS重みの代替的定義は、Combesの元来の定義と同等であることが証明され、異なる枠組み間での一貫性が保証される。
• 2つのKMS重みのテンソル積が構成され、KMS条件を保つことが示され、量子群の文脈における乗法的構造の構築が可能になる。
• KMS重み $\varphi$ と、モジュラー群に関して相対的不変な正則な元 $\delta$ に対して、重み $\varphi_{\delta}(x) = \varphi(\delta^{1/2}x\delta^{1/2})$ は適切に定義され、KMS的であることが示される。
• 集合 $\Lambda({\cal N}_{\varphi} \cap {\cal N}_{\varphi_{\delta}})$ は、GNS表現における作用素 $J\pi(\delta^{1/2})J$ のコアをなしており、収束性および閉性に関する議論が可能になる。
• $\varphi_{\delta_1} = \varphi_{\delta_2}$ が成り立ち、かつ $\sigma_t(\delta_i) = \lambda_i^t \delta_i$ を満たす2つの正則な元 $\delta_1, \delta_2$ に対して、GNS表現において $\pi(\delta_1) = \pi(\delta_2)$ が成り立つ。
• 忠実なKMS重みの場合、$\varphi_{\delta_1} = \varphi_{\delta_2}$ ならば $\delta_1 = \delta_2$ が成り立つ。これは、生成元 $\delta$ の一意性を示している。