[論文レビュー] Knapsack and subset sum problems in nilpotent, polycyclic, and co-context-free groups

Daniel König, Markus Lohrey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2015

semigroups and automata theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非典型的な群クラスにおけるナップサック問題およびサブセットサム問題の決定可能性と計算量を調査し、特にクラス2の冪指数群においてナップサック問題が決定不能であることを示している。具体的には、整数環 ℤ 上の離散ヘイゼンベルク群 H₃(ℤ) の十分に多くのコピーの直積からなる群において、ナップサック問題が決定不能である。一方で、パリヒの定理と有効な半線形表現を用いて、ココンテキストフリー群ではナップサック問題が決定可能であることを証明している。これらの結果は、組合せ的群論における閉包性質と決定不能性の閾値に関する未解決問題を解消する。

ABSTRACT

It is shown that the knapsack problem (introduced by Myasnikov, Nikolaev, and Ushakov) is undecidable in a direct product of sufficiently many copies of the discrete Heisenberg group (which is nilpotent of class 2). Moreover, for the discrete Heisenberg group itself, the knapsack problem is decidable. Hence, decidability of the knapsack problem is not preserved under direct products. It is also shown that for every co-context-free group, the knapsack problem is decidable. For the subset sum problem (also introduced by Myasnikov, Nikolaev, and Ushakov) we show that it belongs to the class NL (nondeterministic logspace) for every finitely generated virtually nilpotent group and that there exists a polycyclic group with an NP-complete subset sum problem.

研究の動機と目的

• 有限生成な冪指数群、多可解群、およびココンテキストフリー群におけるナップサック問題およびサブセットサム問題の決定可能性と計算量を特定すること。
• 有限拡大や直積といった群の演算におけるナップサック問題の閉包性質に関する未解決問題を解消すること。
• クラス2の冪指数群において決定不能なナップサック問題を持つ群を構成し、より単純な構成により先行研究を改善すること。
• パリヒの定理と有効な半線形表現を用いて、ココンテキストフリー群におけるナップサック問題が決定可能であることを確立すること。
• ナップサック問題の決定可能性が直積において保存されないことを示し、離散ヘイゼンベルク群 H₃(ℤ) を反例として用いること。

提案手法

• Myasnikov ら (2012) の符号化フレームワークに従い、群の元を生成子およびその逆元の語として表現する。
• ココンテキストフリー群のコワード問題に由来する文脈自由言語のパリヒ像を分析するためにパリヒの定理を適用する。
• 半線形集合の有効な計算を用いて、非解言語のパリヒ像が ℕᵏ 全体に等しいかどうかを判定し、ナップサック問題のインスタンスを決定する。
• 決定不能な部分群の積におけるメンバーシップ問題を符号化するために、H₃(ℤ) のコピーの直積としてクラス2の冪指数群を構成する。
• ココンテキストフリー群の直積および制限付きワレル積における閉包性質を活用し、決定可能性の結果を拡張する。
• ナップサック問題を、文脈自由言語の補集合へのメンバーシップ問題に還元し、半線形集合の補集合における有効な閉包性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限生成冪指数群においてナップサック問題は決定可能か？それとも決定不能な例が存在するか？
• RQ2 群においてナップサック問題が決定可能であるとすれば、その直積においても決定可能であるか？
• RQ3 ほぼ冪指数群においてナップサック問題は多項式時間で解けるか？その正確な計算量は何か？
• RQ4 すべてのココンテキストフリー群においてナップサック問題は決定可能か？その場合、どのような技法がこれを可能にするか？
• RQ5 固定されたクラス2の冪指数群を、4つの有限生成アーベル部分群の積へのメンバーシップが決定不能となるように構成できるか？

主な発見

• クラス2の冪指数群、具体的には整数環 ℤ 上の離散ヘイゼンベルク群 H₃(ℤ) の十分に多くのコピーの直積において、ナップサック問題は決定不能である。
• NP完全なサブセットサム問題を有する多可解群が存在し、これは比較的整然とした群構造の中でもNP完全性が生じ得ることを示している。
• すべてのほぼ冪指数群において、サブセットサム問題は NL（非決定的対数空間）に属する。これは、以前の多項式時間の境界を改善するものである。
• 離散ヘイゼンベルク群 H₃(ℤ) においてナップサック問題は決定可能である。これは、決定可能性が直積において保存されないことを示している。
• 決定可能なナップサック問題を持つ群のクラスは、有限拡大に関して閉じており、構造的閉包性質を確認している。
• すべてのココンテキストフリー群においてナップサック問題は決定可能であり、この結果はパリヒの定理と半線形集合表現を用いて有効に得られる。