[論文レビュー] Knapsack Problem variants of QAOA for battery revenue optimisation

Pierre Dupuy de la Grand'rive, Jean-François Hullo|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、制約付きナップサック問題としてモデル化されたバッテリー収益最適化のための、2つの量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）の変種を提案する。1つ目の手法はイジング形式に組み込まれた2次ペナルティを用いるが、浅い深さでは収束しない。2つ目の手法は非イジングで線形ペナルティを用いるアプローチであり、O(n log n)量子ビットとO(p(log₂ n)³)の実行時間を持つ。p ≤ 10の範囲で最適解の95％以内の近似解を達成し、浅い回路で非イジング問題を効果的に処理できることを示している。

ABSTRACT

We implement two Quantum Approximate Optimisation Algorithm (QAOA) variants for a battery revenue optimisation problem, equivalent to the weakly NP-hard Knapsack Problem. Both approaches investigate how to tackle constrained problems with QAOA. A first 'constrained' approach introduces a quadratic penalty to enforce the constraint to be respected strictly and reformulates the problem into an Ising Problem. However, simulations on IBM's simulator highlight non-convergent results for intermediate depth ($ p\leq 50$). A second 'relaxed' approach applies the QAOA with a non-Ising target function to compute a linear penalty, running in time $O(p(\log_2 n)^3)$ and needing $O(n \log n)$ qubits. Simulations reveal an exponential improvement over the number of depth levels and obtain approximations about $0.95$ of the optimum with shallow depth ($p \leq 10$).

研究の動機と目的

• バッテリー収益最適化を、弱いNP困難な組合せ最適化問題である制約付きナップサック問題として取り扱う。
• QAOAがイジング形式に限定されない目的関数への適用可能性を調査し、現在のイジング形式に限った実装を超える。
• 制約付き最適化戦略、特に制約を処理するペナルティベース手法のQAOAへの応用を評価する。
• 近位量子アルゴリズムにおける回路の深さ、量子ビット数、解の品質のトレードオフを調査する。
• QAOAが浅い深さの回路で線形制約と非イジング目的関数を効果的に処理できることを示す。

提案手法

• 容量制約を強制するための2次ペナルティを用いた「制約付き」QAOAの変種を提案し、問題をイジングハミルトニアンに再定式化する。
• 非イジング目的関数と線形ペナルティ項を用いた「緩和型」QAOAアプローチを開発し、解空間への過剰な制約を回避する。
• コスト計算、制約テスト、ペナルティ位相ずれ、再初期化の4つのサブルーチンから成るマルチサブルーチンアーキテクチャを採用。各サブルーチンは制御量子アダーとアタシリア量子ビットを用いて実装する。
• O(n log n)の量子ビットを用い、O(p(log₂ n)³)の回路深さ複雑性を達成し、問題サイズに応じて効率的にスケーリングする。
• 制約が違反された場合にのみ位相シフトを適用するペナルティハミルトニアンを導入し、実行可能な解の空間における連続的最適化を可能にする。
• p層の変分量子回路を用い、古典的最適化により角度βとγを最適化し、期待収益を最大化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAは、線形制約を伴う収益最大化のような非イジング目的関数に、実際に適用可能か？
• RQ2 浅い回路深さにおいて、QAOAの制約付きナップサック問題に対して、線形ペナルティアプローチが2次ペナルティを上回る性能を示すか？
• RQ3 実用的な最適化問題におけるQAOA実装において、量子ビット数と回路深さのトレードオフは何か？
• RQ4 緩和型QAOAアプローチは、p ≤ 10の範囲で、バッテリー収益最適化の最適解をどの程度近似できるか？
• RQ5 QAOAは、イジング形式のペナルティに頼らずに、バッテリー容量や劣化といった複雑な現実世界の制約を処理できるか？

主な発見

• 2次ペナルティを用いた制約付きQAOAアプローチは、IBMのシミュレータ上でのシミュレーションにおいて、p ≤ 50の回路深さでも収束しなかった。これは浅い回路でも不安定であることを示している。
• 緩和型QAOAアプローチは、p ≤ 10の回路層のみで最適値の95％以内の近似解を達成し、浅い深さでも優れた性能を示した。
• 緩和型アプローチはO(n log n)の量子ビットを必要とし、全体の回路深さ複雑性はO(p(log₂ n)³)であった。これにより、問題サイズに応じた効率的スケーリングが可能となった。
• シミュレーションの結果、ペナルティを組み込んだ緩和型QAOAは、特に問題サイズが大きい場合、非制約付きバージョンを一貫して上回った。
• 非イジング目的関数に線形ペナルティを組み込む手法が、QAOAにおいて実用的で効果的であることが示された。これにより、QAOAの適用範囲がイジング形式に限られないことが拡張された。
• 本研究は、ハードウェアの制限がある近位量子デバイスでも、QAOAが線形制約と複雑な目的関数を効果的に処理できることを実証的証拠で示している。