[論文レビュー] Knot invariants and higher representation theory II: the categorification of quantum knot invariants

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、任意の単純リー代数 $\mathfrak{g}$ に関連する量子群のすべての有限次元表現に対して、Khovanov-Lauda-Rouquier代数によるカテゴライズ化されたテンソル積表現を用いて、量子絡み目の不変量のカテゴライゼーションを構成する。主な結果は、そのgradedなオイラー特性が量子不変量を回復する二重次数付きホモロジー理論を提供することであり、定義表現を用いる場合、$\mathfrak{sl}_2$、$\mathfrak{sl}_3$、$\mathfrak{sl}_n$ に対して既知の不変量と一致する。

ABSTRACT

We construct knot invariants categorifying the quantum knot variants for all representations of quantum groups. We show that these invariants coincide with previous invariants defined by Khovanov for sl(2) and sl(3) and by Mazorchuk-Stroppel and Sussan for sl(n). Our technique uses categorifications of the tensor product representations of Kac-Moody algebras and quantum groups, constructed a prequel to this paper. These categories are based on the pictorial approach of Khovanov and Lauda. In this paper, we show that these categories are related by functors corresponding to the braiding and (co)evaluation maps between representations of quantum groups. Exactly as these maps can be used to define quantum invariants attached to any tangle, their categorifications can be used to define knot homologies.

研究の動機と目的

• 単純リー代数 $\mathfrak{g}$ の任意の有限次元表現でラベル付けられたリンクに対するホモロジー理論を構成し、それに対応する量子不変量をカテゴライズ化すること。
• 従来、最小的または基本的表現に限られていたカテゴライゼーションを、量子群のすべての最高ウェイト表現へと拡張すること。
• $U_q(\mathfrak{g})$-表現のR行列およびリボンカテゴリ構造の体系的カテゴライゼーションを通じて、先行する絡み目ホモロジーの構成（例えばKhovanov、Khovanov-Rozansky、Mazorchuk-Stroppel）を統一的かつ一般化すること。
• 提案されたホモロジー理論が、定義表現に制限した場合、$\mathfrak{sl}_2$、$\mathfrak{sl}_3$、$\mathfrak{sl}_n$ に対して既知の不変量と一致することを確立すること。

提案手法

• $U_q(\mathfrak{g})$ のテンソル積表現を、そのGrothendieck群が $V_{\lambda_1} \otimes \cdots \otimes V_{\lambda_\ell}$ の整数形式を実現する、gradedな有限次元代数 $T^{\underline{\boldsymbol{\lambda}}}$ を用いてカテゴライズ化する。
• $U_q(\mathfrak{g})$-表現のリボンカテゴリにおけるbraiding、(co)evaluation、双対化写像をカテゴライズ化する関手を定義する。
• KhovanovとLaudaの図式的形式主義を用いて、これらのカテゴライズ化写像の合成を通じてtangle不変量を構成し、Reshetikhin-Turaev構成に類似させる。
• ES同値およびKoszul双対性を用いて、交差、カップ、キャップに対応する関手がSussanおよびMazorchuk-Stroppelのものと一致することを示し、先行研究と同等性を確立する。
• $\mathfrak{gl}_N$ のパラボリックカテゴリ $\epsilon\mathcal{O}$ における平行移動およびねじり関手を活用し、カテゴライズ化された表現論的構造をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限次元表現（最小的または基本的表現に限らない）に対する量子絡み目不変量の均一なカテゴライゼーションを構築できるか？
• RQ2 高次表現論フレームワークにおけるカテゴライズ化されたR行列および (co)evaluation 関手は、Khovanov や Khovanov-Rozanskyホモロジーといった既知の絡み目ホモロジーをどのように再現するか？
• RQ3 本稿で提案されたtangle用のカテゴライズ化関手は、文献に既存のもの（特にSussanおよびMazorchuk-Stroppelのもの）とどの程度一致するか？
• RQ4 提案されたホモロジー理論はリンクcobordismに関して関手的であるか。もしそうであるなら、Morse理論的ハンドル分解構成は独立な写像をどのように得るか？

主な発見

• 提案されたホモロジー理論 $\mathcal{K}(L,\{\lambda_i\})$ は、そのgradedなオイラー特性がラベル付けられたリンクの量子不変量を回復する二重次数付きベクトル空間である。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2$ および $\mathfrak{sl}_3$ の場合、リンクが定義表現でラベル付けされているとき、それぞれKhovanovホモロジーおよびKhovanov-Rozanskyホモロジーを回復する。
• $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ の場合、定義表現に対して不変量はMazorchuk-Stroppel-Sussanホモロジーと一致し、予想ではKhovanov-Rozanskyホモロジーと同型である。
• 本稿で構築されたカテゴライズ化された交差、カップ、キャップ関手は、ES同値およびKoszul双対性を用いてSussanおよびMazorchuk-Stroppelのものと同値であることが示された。
• 本稿の第I部で確立されたように、この構成はKhovanov-Lauda-Rouquier代数による $U_q(\mathfrak{g})$-表現のカテゴライゼーションと整合する。