[論文レビュー] Knotted 3-balls in S^4

Ryan Budney, David Gabai|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、4次元球面 $S^4$ および $S^1 \times B^3$ 内に無限個の同相でないねじれ3次元球面が存在することを確立し、$S^4$ 内でくさりの図形を囲む標準的な3次元球面が同相の意味で一意でないことを示している。バーベル微分同相、埋め込み、ねじりといった新規技術を用いて、商群 $\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 固定 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial))$ 内に無限個の線形独立な元の族を構成し、ねじれ3次元球面の空間が無限大のランクを持つことを証明した。さらに、これらの結果を高次元多様体へと拡張した。

ABSTRACT

The unknot U in S^4 has non-unique smooth spanning 3-balls up to isotopy fixing U. Equivalently there are properly embedded non-separating 3-balls in S^1xB^3 not properly isotopic to 1xB^3. More generally there exist non-separating 3-spheres in S^1xS^3 not isotopic to 1xS^3 and non trivial elements of π_0 Diff_0(S^1xS^3). Along the way we introduce barbell diffeomorphisms, implantations and twistings to construct and modify diffeomorphisms homotopic to the identity. We also introduce a 2-parameter calculus of embeddings of the interval into 4-manifolds and introduce a framed cobordism method as well as a direct method for showing that certain 2-parameter families are homotopically non trivial and diffeomorphisms are isotopically nontrivial. Extensions to higher dimensional manifolds are obtained.

研究の動機と目的

• $S^4$ および $S^1 \times B^3$ 内に正しく埋め込まれた3次元球面が、くさりの図形や標準的な2次元球面を囲む場合の同相分類を調査すること。
• $S^4$ 内でくさりの図形を囲む標準的な3次元球面が、同相の意味で一意でないことを示し、低次元の直観とは対照的にすること。
• 新しい幾何学的およびホモトピー的技法を用いて、$S^1 \times B^3$ および $S^4$ 内に無限個の線形独立なねじれ3次元球面の族を構成すること。
• これらの構成を高次元多様体へと拡張し、$n \geq 3$ に対して $\pi_{n-3}\mathrm{Diff}(S^1 \times B^n \text{ 固定 } \partial)$ 内に非自明な同相類が存在することを示すこと。
• $(S^1 \times B^3$ 内の還元可能な3次元球面の同相類の群が無限大であり、かつアーベル群であることを示し、境界接続和に類似した合成演算により群構造を定義すること。

提案手法

• 恒等写像にホモトープではあるが同相でない微分同相を構成・変形するため、バーベル微分同相、埋め込み、ねじりを導入すること。
• 区間の4次元多様体への埋め込みの2パラメータの計算を用いて、ねじれ3次元球面の非自明な同相類を分析・構成すること。
• フレーム付きコボルディズム法と直接法を適用し、特定の2パラメータ族の埋め込みがホモトピー的に非自明であり、同相の意味で非自明な微分同相を誘導することを示すこと。
• 境界接続和に類似した合成演算を用いて、ねじれ3次元球面の同相類の群構造を定義すること。
• 恒等写像にホモトープではあるが同相でない $S^1 \times B^3$ の微分同相を上げることで、$S^4$ 内のねじれ3次元球面の明示的代表元を構成すること。
• $S^4$ 内のくさりの図形の外部が $S^1 \times B^3$ に微分同相であることを利用して、$S^4$ と $S^1 \times B^3$ 間で結果を移行すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^4$ 内に、くさりの図形を囲む正しく埋め込まれた3次元球面が無限個の同相類を有するか？
• RQ2 恒等写像にホモトープではあるが同相でない $S^1 \times B^3$ の微分同相が、同相でないねじれ3次元球面を生じるか？
• RQ3 $S^1 \times B^3$ 内の還元可能な3次元球面の同相類の群は無限大であり、その代数的構造は何か？
• RQ4 バーベル微分同相とねじりの技法を、4次元多様体の微分同相群の高次ホモトピー群に非自明な元を構成するために一般化できるか？
• RQ5 $S^1 \times S^3$ 内のねじれ3次元球面の同相類は無限大の群をなし、$\mathrm{Diff}_0(S^1 \times S^3)$ との関係は何か？

主な発見

• 本稿は、$\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 固定 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial))$ 内に無限個の線形独立な元の族を構成し、$S^1 \times B^3$ 内のねじれ3次元球面の同相類が無限大の群をなすことを証明した。
• $S^4$ 内に、くさりの図形を囲む同相でないねじれ3次元球面が無限個存在し、これにより、囲む3次元球面が同相の意味で一意でないことが示された。
• $S^1 \times B^3$ 内の還元可能な3次元球面の同相類の群は、$\pi_0(\mathrm{Diff}(S^1 \times B^3 \text{ 固定 } \partial)/\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial))$ に同型であり、この群は無限大かつアーベル群である。
• 構成法を拡張することで、すべての $n \geq 3$ に対して $\pi_{n-3}\mathrm{Diff}(S^1 \times B^n \text{ 固定 } \partial)$ が無限大部分群を含むことが示された。これは、高次元への一般化を示している。
• $\mathrm{Diff}_0(S^1 \times S^3)$ には、$\mathrm{Diff}(B^4 \text{ 固定 } \partial)$ による剰余類で非自明な元が存在し、$S^1 \times S^3$ 内に同相でない還元可能な3次元球面が存在することを示唆している。
• $S^4$ 内の2次元球面の埋め込み空間 $\mathrm{Emb}_u(S^2, S^4)$ は、線形埋め込みの部分空間とホモトピー型が異なり、ねじれ2次元球面の空間に豊富な構造が存在することを示している。