[論文レビュー] "Knowing value" logic as a normal modal logic

Tao Gu, Yanjing Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、従来非正規とされてきた「値を知る」論理が、Kv作用素の否定を特別な二項ダイアモダリティとして扱うことで、正規のモダリスティック論理として再解釈可能であることを示している。三項到達関係 $ R_i^c $ を導入することで、意味論が単純化され、透明な正規体系が得られ、完全性の証明が容易になり、「値を知る」といった知識表現の理解が深まる。

ABSTRACT

Recent years witness a growing interest in nonstandard epistemic logics of "knowing whether", "knowing what", "knowing how", and so on. These logics are usually not normal, i.e., the standard axioms and reasoning rules for modal logic may be invalid. In this paper, we show that the conditional "knowing value" logic proposed by Wang and Fan \cite{WF13} can be viewed as a disguised normal modal logic by treating the negation of the Kv operator as a special diamond. Under this perspective, it turns out that the original first-order Kripke semantics can be greatly simplified by introducing a ternary relation $R_i^c$ in standard Kripke models, which associates one world with two $i$-accessible worlds that do not agree on the value of constant $c$. Under intuitive constraints, the modal logic based on such Kripke models is exactly the one studied by Wang and Fan (2013,2014}. Moreover, there is a very natural binary generalization of the "knowing value" diamond, which, surprisingly, does not increase the expressive power of the logic. The resulting logic with the binary diamond has a transparent normal modal system, which sharpens our understanding of the "knowing value" logic and simplifies some previously hard problems.

研究の動機と目的

• 「知っているか」「知っているかどうか」「知っている方法」といった知識論理における非正規性の課題に対処すること。
• 「値を知る」論理（Kv）の複雑な一階Kripke意味論を、三項到達関係の導入によって単純化すること。
• 値の不等価性を表す二項ダイアモダリティを用いることで、論理を正規モダリスティック論理として再構築することを示すこと。
• より強い完全性および決定可能性の結果を支持する、透明で公理化された正規体系を提供すること。

提案手法

• 世界が、定数 $ c $ の値が異なる二つの $ i $-到達可能な世界に接続される三項関係 $ R_i^c $ を導入する。
• Kv作用素を二項ダイアモダリティ $ \newcommand{\rDiamond}{\raisebox{.2ex}{\text{\textperiodcentered}}}\rDiamond_i^c $ を用いて再定式化し、$ \rDiamond_i^c \top $ が成り立つのは、$ c $ の値が異なる二つの $ i $-到達可能な世界が存在する場合に限る。
• 最大一貫集合を用いて標準的モデルを定義し、論理的閉包および一貫性条件から標準的関係 $ R_i^c $ を導出する。
• $ \rDiamond_i^c $ の存在補題を証明し、$ \rDiamond_i^c \top \notin s $ ならば、標準的モデル内にそのようなペアは存在しないことを保証する。
• 論理式の複雑さに関する帰納法を用いて、標準的モデルにおける真理保存性を確立する：$ \text{M}, s \Vdash \phi \iff \phi \in s $。
• 体系 $ \mathbb{SMLKV} $ が新しい三項モデルに関して強く完全であることを示し、この結果を元の $ \textbf{ELKv}^r $ モデルへと移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正規の「値を知る」論理は、意味論の再構築によって正規モダリスティック論理として再解釈可能か？
• RQ2 三項到達関係を用いることで、「値を知る」論理の一階Kripke意味論はどのように単純化可能か？
• RQ3 値の不等価性を表す二項ダイアモダリティを導入しても、元の論理の表現力は保持されるか？
• RQ4 単純化された意味論に対して、透明で完全な公理化体系を構築可能か？

主な発見

• 「値を知る」論理は、$ \neg \text{Kv}_i(\phi, c) $ を二項ダイアモダリティ $ \rDiamond_i^c \phi $ として扱うことで、正規モダリスティック論理として同値に解釈可能である。
• 定数 $ c $ の値が異なる二つの $ i $-到達可能な世界に接続する三項関係 $ R_i^c $ は、論理の意味論を単純化し、直感的である。
• 二項ダイアモダリティ $ \rDiamond_i^c $ を用いた結果の論理は、より複雑な構文を有するが、元の「値を知る」論理と同等の表現力を有する。
• $ \mathbb{SMLKV} $ は新しい三項モデルに関して強く完全であり、この完全性は元の $ \textbf{ELKv}^r $ モデルへも移行可能である。
• 標準的モデルの構築により、モデル内での真理が最大一貫集合への属することと正確に一致することが検証され、完全性証明の妥当性が裏付けられる。