[論文レビュー] Kobayashi geodesics in A_g

Martin Moeller, Eckart Viehweg|ArXiv.org|Sep 5, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、モジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ 内の小林測度に関する測地線を、対応するHodge構造の分解における最大Higgs因子の存在という条件によって特徴づけ、シムーラ曲線とティヒミュラー曲線の両方を一般化する。主な結果は、写像 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ が小林測度の測地線であるための必要十分条件が、関連するHodge構造の少なくとも1つの既約直接因子が最大Higgsであること、すなわちそのHiggs写像 $\theta: E^{1,0} \to E^{0,1} \otimes \Omega^1_Y(\log S)$ が同型であることである。

ABSTRACT

We consider Kobayashi geodesics in the moduli space of abelian varieties A_g that is, algebraic curves that are totally geodesic submanifolds for the Kobayashi metric. We show that Kobayashi geodesics can be characterized as those curves whose logarithmic tangent bundle splits as a subbundle of the logarithmic tangent bundle of A_g. Both Shimura curves and Teichmueller curves are examples of Kobayashi geodesics, but there are other examples. We show moreover that non-compact Kobayashi geodesics always map to the locus of real multiplication and that the Q-irreducibility of the induced variation of Hodge structures implies that they are defined over a number field.

研究の動機と目的

• アーベル・多様体のモジュライ空間 $\mathcal{A}_g$ 内の小林測度に関する完全測地的部分多様体を特徴づけること。
• 既知の測地線のクラス（シムーラ曲線とティヒミュラー曲線）を、一つの内因的基準の下に統一すること。
• 非コンパクトな小林測度の測地線の算術的および幾何的性質を調査し、特に実乗法と数体との関係を明らかにすること。
• ティヒミュラー曲線およびシムーラ曲線のケースを超えて、非算術的三角形群によって均一化される例を含む、新たな測地線の特徴づけを拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、曲線 $Y_0 \subset \mathcal{A}_g$ 上の重み1の極分類 $\mathbb{Z}$-Hodge構造の変動に付随する対数Higgs bundle を用いる。
• 写像 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ が小林測度の測地線であるとは、$Y_0$ の対数接束が $\mathcal{A}_g$ の対数接束の部分束として分解されることと同値であり、これはHodge構造内に最大Higgs因子が存在することに等しい。
• Hodge構造の既約 $\bar{\mathbb{Q}}$-定義因子への分解に依拠し、最大Higgs条件が基底変換およびエタール被覆に関して不変であることを用いる。
• 証明では、対数Higgsバンドルの理論と、基底 $U$ 上の普遍族の構造を用い、アフィンな小林測度の測地線が、対数余接束が分解するような曲線上の族から生じることを示す。
• 剛性結果と基底変換の議論を適用し、このような測地線がその一般ファイバーによって決定され、$\bar{\mathbb{Q}}$-多様体上への族へと引き上げられることを示す。
• 群の分類（例：三角形群）と基本群のトレース体 $K$ を用いて、非シムーラおよび非ティヒミュラーの例を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ が小林測度の測地線（すなわち小林測度に関する完全測地的部分多様体）であるための条件は何か？
• RQ2 既知のシムーラ曲線およびティヒミュラー曲線のケースを超えて、このような測地線を特徴づける正確なHodge理論的条件は何か？
• RQ3 非コンパクトな小林測度の測地線は、常に実乗法の部分集合へと写像されることが示せるか？ また、それらが数体上でのHodge構造の変動を定義するにはどのような条件下で成立するか？
• RQ4 $\mathcal{A}_g$ 内に、シムーラ曲線でも非算術的三角形群によって均一化されるものでもないコンパクトな小林測度の測地線は存在するか？
• RQ5 固定された判別式に対して、ヒルベルトモジュラー面から生じるすべての非シムーラ小林測度の測地線を、$\mathcal{A}_2$ 内で分類できるか？

主な発見

• 写像 $\varphi_0: Y_0 \to \mathcal{A}_g$ が小林測度の測地線であるための必要十分条件は、関連する $\mathbb{C}$-Hodge構造 $\mathbb{W} = \mathbb{W}_\mathbb{Z} \otimes \mathbb{C}$ の少なくとも1つの既約直接因子が最大Higgsであること、すなわちそのHiggs写像 $\theta: E^{1,0} \to E^{0,1} \otimes \Omega^1_Y(\log S)$ が同型であることである。
• 非コンパクトな小林測度の測地線は、常に $\mathcal{A}_g$ 内の実乗法の部分集合へと写像され、ティヒミュラー曲線に見られる性質を一般化する。
• Hodge構造の変動が $\mathbb{Q}$-既約であれば、測地線は数体上に定義される。これは、シムーラ曲線に見られる性質を拡張する。
• アフィンな小林測度の測地線は、対数余接束が分解するような曲線 $U$ 上の族の像として生じる。これは、ティヒミュラー曲線がヒルベルトモジュラー面上の族から生ずるという既知の事実を一般化する。
• コンパクトな小林測度の測地線で、シムーラ曲線でも非算術的三角形群 $\Delta(l,m,n)$ によって均一化されるものでもないものが存在する。特に、タケウチの有限リストに含まれない $l,m,n < \infty$ の非算術的三角形群から生じる例がある。
• プリム構成により、$\mathcal{A}_2$ 内にティヒミュラー曲線でもシムーラ曲線でもない小林測度の測地線の例が得られ、このクラスはシムーラ曲線とティヒミュラー曲線の合併集合を厳密に超えることが示された。