[論文レビュー] Stability of Hodge bundles and a numerical characterization of Shimura varieties

Martin Moeller, Eckart Viehweg+1 more|ArXiv.org|Jun 23, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ホッジ構造の変動の不変量を用いて、ホッジ型のシムーラ多様体およびクーガ・ファイバー空間を数値的に特徴付ける。ある準射影的基底上でのアーベル・多様体の族がクーガ・ファイバー空間であるための必要十分条件は、各既約なホッジ構造の部分変動がユニタリであるか、アラケロフ等式を満たすことである。さらに、ユニバーサル被覆の各因子において、球体に類似した接束を持つ場合、反復コホノロジー・スペンサーマップが最小の長さを持つことである。剛性がある場合、その族は $Γ_g$ のホッジ型の連結シムーラ部分多様体である。

ABSTRACT

Consider a family f:A --> U of g-dimensional abelian varieties over a quasiprojective manifold U. Suppose that the induced map from U to the moduli scheme of polarized abelian varieties is generically finite and that there is a projective manifold Y, containing U as the complement of a normal crossing divisor S, such that the sheaf of logarithmic one forms is nef and that its determinant is ample with respect to U. We characterize whether $U$ is a Shimura variety by numerical data attached to the variation of Hodge structures, rather than by properties of the map from U to the moduli scheme or by the existence of CM points. More precisely, we show that U is a Shimura variety, if and only if two conditions hold. First, each irreducible local subsystem V of the complex weight one variation of Hodge structures is either unitary or satisfies the Arakelov equality. Secondly, for each factor M in the universal cover of U whose tangent bundle behaves like the one of a complex ball, an iterated Kodaira-Spencer map associated with V has minimal possible length in the direction of M.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $Γ_g$ やCM点への写像に依存せずに、ホッジ構造の変動の数値的不変量のみを用いて、ホッジ型のシムーラ多様体およびクーガ・ファイバー空間を特徴付けること。
• 曲線や剛性族に関する先行結果を、より高次元の基底および非剛性族へと拡張すること。
• クーガ・ファイバー空間を同定するための基準を、アラケロフ等式と反復ヘイグス・フィールドの最小長さに基づいて確立すること。
• 数値的条件を満たす剛性族が、$Γ_g$ のホッジ型の連結シムーラ部分多様体であることを証明すること。
• 以前の研究で除外されていた標準表現の問題を解決するため、判別式条件をヘイグス・フィールドの長さに関するより一般的な条件に置き換えること。

提案手法

• 準射影的基底 $U$ 上に定義された、正則的でない除法 $S$ を持つ、重み1の複素ホッジ構造の変動に付随するヘイグスバンドルを用いる。
• 部分変動のホッジ構造にアラケロフ等式を適用する：各既約部分変動は、ユニタリであるか、アラケロフ不等式の等号を満たす必要がある。
• 反復コホノロジー・スペンサーマップ $\theta^{(m)}$ を解析し、ユニバーサル被覆の各因子において、球体に類似した幾何を持つ方向に対して、それが可能な最小の長さを持つことを要請する。
• ヘイグスバンドルの安定性理論と $\mu$-安定性の概念を用いて、非自明な部分バンドルを除外し、高次元の場合に矛盾を導く。
• シュール関手とホロノミー群の整合性を用いて、球体に類似した因子が高次元では満たせないことを示し、低次元の場合（$n=1,2$）に限ることを示す。
• 接バンドルの対称冪の安定性を適用し、スロープを比較することで、特定の表現が除外されることを示し、$n \leq 2$ でなければ矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準射影的基底上のアーベル多様体族がクーガ・ファイバー空間であるための、ホッジバンドルおよびヘイグス・フィールドに関する数値的条件は何か？
• RQ2 モジュライ空間 $Γ_g$ への写像を参照せずに、ホッジ構造の変動の数値的不変量のみを用いて、シムーラ多様体を特徴付けることは可能か？
• RQ3 反復コホノロジー・スペンサーマップの長さは、特に非剛性族において、シムーラ多様体の同定にどのような役割を果たすか？
• RQ4 以前の研究で用いられた判別式条件は、どのようにヘイグス・フィールドの長さに関するより一般的で包括的な条件に置き換えられるか？
• RQ5 証明においてなぜ $n=1$ および $n=2$ のみが数値的制約を満たすのか、そしてこれは基底の幾何にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 族 $f: A \to U$ がクーガ・ファイバー空間であるための必要十分条件は、すべての既約なホッジ構造の部分変動がユニタリであるか、アラケロフ等式を満たすことである。
• 基底 $U$ のユニバーサル被覆の各因子 $M$ において、接束が複素球体に類似している場合、任意の部分変動に付随する反復コホノロジー・スペンサーマップは、可能な最小の長さを持つ。
• 族が剛性である場合、基底 $U$ は $Γ_g$ のホッジ型の連結シムーラ部分多様体である。
• $n \geq 3$ の場合、ホロノミー群の整合性の欠如により矛盾が生じ、$n=1$ および $n=2$ のみが可能であることが示される。
• $n=2$ かつ $\ell' \neq 5$ の場合、$\varsigma(\mathbb{V}) = 3$ が成り立ち、主要な不等式 (8.1) の等号がこれらのケースで確認される。
• すべてのケースにおいて $\ell' = 4, 6$ または $5, 15$ は、対称冪のスロープ不等式が破られるため、除外される。